Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，點P在雙曲線的右支上，且|PF₁|=3|PF₂|．?
（1）求離心率的最值，并寫出此時雙曲線的漸近線方程．?
（2）若點P的坐標(biāo)為（

4 10

5

，±

3 10

5

）時，

PF1

•

PF2

=0，求雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合|PF₁|=3|PF₂|，解得|PF₁|=3a，|PF₂|=a．由圓錐曲線統(tǒng)一定義，求得x₀=

2a2

c

，根據(jù)P在雙曲線的右支得

2a2

c

≥a，解得1＜e≤2，由此可得離心率e的最大值為2，不難算出因此的漸近線方程為y=±

3

x；
（2）將

PF1

•

PF2

=0轉(zhuǎn)化為關(guān)于x₀、y₀和c的表達(dá)式，化簡整理得c²=x₀²+y₀²=10，結(jié)合|PF₂|=a和x₀=

2a2

c

，聯(lián)解可得a²=4，從而b²=c²-a²=6，得雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1，由此易得P的坐標(biāo)為（

4 10

5

，±

3 10

5

）．

解答：解：（1）根據(jù)雙曲線的定義，得|PF₁|-|PF₂|=2a
∵|PF₁|=3|PF₂|，∴|PF₁|=3a，|PF₂|=a
設(shè)F₁（-c，0），F(xiàn)₂（c，0），P（x₀，y₀），
雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1的左準(zhǔn)線方程為：x=-

a2

c

，
由圓錐曲線統(tǒng)一定義，得

|PF1|

x0+ a2 c

=e，∴3a=ex₀+a，得x₀=

2a2

c

∵P在雙曲線的右支，∴x₀≥a即

2a2

c

≥a，解得1＜e≤2
∴離心率e的最大值為2，此時

c

a

=2，得b=

c2-a2

=

3

a
因此，雙曲線的漸近線方程為y=±

3

x
（2）

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀）
∵

PF1

•

PF2

=0，
∴-（c²-x₀²）+y₀²=0，可得c²=x₀²+y₀²=10…（*）
∵|PF₂|=

(c-x0)2+y02

=a，
∴（c-x₀）²+y₀²=a²，
代入（*）式和x₀=

2a2

c

，可得a²=20-2cx₀=20-4a²，解之得a²=4
∴b²=c²-a²=6，得雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1
此時x₀=

2a2

c

=

4 10

5

，y₀=±

3 10

5

所以當(dāng)點P的坐標(biāo)為（

4 10

5

，±

3 10

5

）時

PF1

•

PF2

=0，且此時的雙曲線方程為

x2

4

-

y2

6

=1．

點評：本題給出雙曲線線

x2

a2

-

y2

b2

=1的右支上點P滿足|PF₁|=3|PF₂|，求雙曲線離心率的最大值，并求PF₁⊥PF₂時的雙曲線方程，著重考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、簡單幾何性質(zhì)和向量數(shù)量積的坐標(biāo)運算等知識，屬于中檔題．