Question

【題目】定義在上的函數(shù)，如果滿足：對任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱函數(shù)是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界.已知函數(shù).

（1）當(dāng)時，求函數(shù)在上的值域，并判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，請說明理由；

（2）若函數(shù)在上是以3為上界的有界函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若，函數(shù)在上的上界是，求的解析式.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，求出的值域，進而可判斷在上是否為有界函數(shù)；

（2）利用題中所給定義，列出不等式，換元，轉(zhuǎn)化為恒成立問題，通過分參求構(gòu)造函數(shù)的最值，就可求得實數(shù)的取值范圍；

（3）通過分離常數(shù)法求的值域，利用新定義進而求得的解析式。

（1）當(dāng)時，，由于在上遞減，

∴函數(shù)在上的值域為，故不存在常數(shù)，使得成立，∴函數(shù)在上不是有界函數(shù)

（2）在上是以3為上界的有界函數(shù)，即，令，則，即

由得，

令，在上單調(diào)遞減，所以

由得，

令，在上單調(diào)遞增，所以

所以；

（3）在上遞減，

，即，

當(dāng)時，即當(dāng)時，

當(dāng)時，即當(dāng)時，

∴.