如圖,四棱錐
P—
ABCD中,四邊形
ABCD為矩形,平面
PAD⊥平面
ABCD,且
E、
O分別為
PC、
BD的中點(diǎn).
求證:(1)
EO∥平面
PAD;
(2)平面
PDC⊥平面
PAD.
(1)證法一:連接
AC.
因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為矩形,所以
AC過點(diǎn)
O,且
O為
AC的中點(diǎn).
又因?yàn)辄c(diǎn)
E為
PC的中點(diǎn),所以
EO//
PA.
因?yàn)?i>PAÌ平面
PAD,
EO平面
PAD,所以
EO∥面
PAD.
證法二:取
DC中點(diǎn)
F,連接
EF、
OF.
因?yàn)辄c(diǎn)
E、
O分別為
PC和
BD的中點(diǎn),所以
EF//
PD,
OF//
BC.
在矩形
ABCD中,
AD//
BC,所以
OF//
AD.
因?yàn)?i>OF平面
PAD,
ADÌ平面
PAD,所以
OF//平面
PAD.
同理,
EF//平面
PAD.
因?yàn)?i>OF∩
EF=
F,
OF、
EFÌ平面
EOF,所以平面
EOF//平面
PAD.
因?yàn)?i>EOÌ平面
OEF,所以
EO∥平面
PAD.
證法三:分別取
PD、
AD中點(diǎn)
M、
N,連接
EM、
ON、
MN.
因?yàn)辄c(diǎn)
E、
O分別為
PC和
BD的中點(diǎn),所以
EM,\d\fo(=
CD,
ON,\d\fo(=
AB.
在矩形
ABCD中,
AB,\d\fo(=
CD,所以
EM,\d\fo(=
ON.
所以四邊形
EMNO是平行四邊形.所以
EO//
MN.
因?yàn)?i>MNÌ平面
PAD,
EO平面
PAD,所以
EO∥面
PAD.
(2)證法一:因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為矩形,所以
CD⊥
AD.
因?yàn)槠矫?i>PAD⊥平面
ABCD,平面
PAD∩平面
ABCD=
AD,
CDÌ平面
ABCD,
所以
CD⊥平面
PAD.
又因?yàn)?i>CDÌ平面
PDC,所以平面
PDC⊥平面
PAD.
證法二:在平面
PAD內(nèi)作
PF⊥
AD,垂足為
F.
因?yàn)槠矫?i>PAD⊥平面
ABCD,所以
PF⊥平面
ABCD.
因?yàn)?i>CDÌ平面
ABCD,所以
PF⊥
CD.
因?yàn)樗倪呅?i>ABCD為矩形,所以
CD⊥
AD.
因?yàn)?i>PF∩
AD=
F,所以
CD⊥平面
PAD.
又因?yàn)?i>CDÌ平面
PDC,所以平面
PDC⊥平面
PAD.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題
科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
邊長(zhǎng)為5的正方形EFGH是圓柱的軸截面,求從點(diǎn)E沿圓柱的側(cè)面到相對(duì)頂點(diǎn)G的最短距離.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖, 在直三棱柱
ABC-
A1B1C1中,
AC=3,
BC=4,
AA1=4,點(diǎn)
D是
AB的中點(diǎn), (I)求證:(I)
AC⊥
BC1;
(II)求證:
AC 1//平面
CDB1;
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
在四棱錐P—ABCD中,側(cè)棱PA⊥底面ABCD,底面ABCD是矩形,問底面的邊BC上是否存在點(diǎn)E.
(1)使∠PED=90°;
(2)使∠PED為銳角. 證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
如圖,直三棱柱
ABC—
A1B1C1,底面△
ABC中,
CA=
CB=1,∠
BCA=90°,
AA1=2,
M、
N分別是
A1B1、
A1A的中點(diǎn).
(1)求
的長(zhǎng);
(2)求cos<
>的值;
(3)求證:
A1B⊥
C1M.
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:單選題
連結(jié)球面上兩點(diǎn)的線段稱為球的弦. 半徑為4的球的兩條弦AB、CD的長(zhǎng)度分別等于
和
,
、
分別為
、
的中點(diǎn),每?jī)蓷l弦的兩端都在球面上運(yùn)動(dòng),有下面四個(gè)命題:①弦
、
可能相交于點(diǎn)
②弦
、
可能相交于點(diǎn)
③
的最大值為5 ④
的最小值為1其中真命題為
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
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科目:高中數(shù)學(xué)
來源:不詳
題型:解答題
(本小題滿分14分)
如圖,矩形ABCD中,AD⊥平面ABE,AE=EB=BC=2,F(xiàn)為CE上的點(diǎn),且BF⊥平面ACE,AC∩BD=G
(1)求證:AE⊥平面BCE;
(2)求證:AE//平面BFD;
(3)求三棱錐C—BGF的體積
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