Question

在正四棱錐S-ABCD中，側面與底面所成角為

π

3

，則它的外接球的半徑R與內徑球半徑r的比值為（　�。�

• A、5
• B、

  3

  2

• C、10
• D、

  5

  2

Answer 1

分析：由題意通過側面與底面所成角為

π

3

，設出正四棱錐的底面邊長，求出斜高，側棱長，求出內切球的半徑與正四棱錐底面邊長的關系；利用外接球的球心與正四棱錐的高在同一條直線，結合勾股定理求出，外接球的半徑與底面邊長的關系，即可得到比值．

解答：解：由于側面與底面所成角為

π

3

，可知底面邊長與兩個對面斜高構成正三角形，設底面邊長為a，則斜高也為a，進而可得側棱長為

5 a

2

，高為

3 a

2

四棱錐的內切球半徑就是上述正三角形的內切圓半徑為

3 a

6

，
其外接球球心必在頂點與底面中心連線上，半徑為R，球心為O，頂點為P，底面中心為O₁，底面一個頂點為B，則OB=OP，

于是就有：（

3 a

2

-R）²+（

2 a

2

）²=R²
解得R=

5 3 a

12

．
所以兩者的比為：

5

2

．
故選D

點評：本題是中檔題，考查學生的空間想象能力，計算能力推理能力．求出球的半徑與正三棱柱的底面邊長的關系，是本題的關鍵．