Question

19．已知正數(shù)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{an}$），
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）歸納猜想a_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由S_n與a_n的關(guān)系，我們從n=1依次代入整數(shù)值，即可求出a₁，a₂，a₃；
（2）由a₁，a₂，a₃的值與n的關(guān)系，我們歸納推理出數(shù)列的通項(xiàng)公式，觀察到它們是與自然數(shù)集相關(guān)的性質(zhì)，故可采用數(shù)學(xué)歸納法來證明．

解答 解　（1）a₁=1，a₂=$\sqrt{2}$-1，a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$．
（2）猜想a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由a₁=$\sqrt{1}$=1得結(jié)論成立；
②假設(shè)n=k（k∈N^*）時(shí)結(jié)論成立，
即a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$．
當(dāng)n=k+1時(shí)，
a_k+1=S_k+1-S_k=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（a_k+$\frac{1}{ak}$）
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{ak+1}$）-$\frac{1}{2}$（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$+$\frac{1}{\sqrt{k}-\sqrt{k-1}}$），
從而有a_k+1²+2$\sqrt{k}$a_k+1-1=0，
又由a_k+1＞0，
解得a_k+1=$\frac{-2\sqrt{k}+\sqrt{4k+4}}{2}$=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$，
這說明當(dāng)n=k+1時(shí)結(jié)論成立．
由①②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$對任意正整數(shù)n都成立．

點(diǎn)評 本題（2）中的證明要用到數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個(gè)與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時(shí)成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立