已知≤a≤1,若f(x)=ax2-2x+1在區(qū)間[1,3]上的最大值M(a),最小值N(a),設(shè)g(a)=M(a)-N(a).
(1)求g(a)的解析式;
(2)判斷g(a)單調(diào)性,求g(a)的最小值.
【答案】分析:(1)根據(jù)已知條件a>0,知函數(shù)是二次函數(shù),其圖象是開口向上的拋物線.因此討論對(duì)稱軸:x=與區(qū)間[1,3]的關(guān)系,得到函數(shù)的單調(diào)性后再找出相應(yīng)的最值,即可得g(a)的解析式;
(2)通過求導(dǎo)數(shù),討論其正負(fù),可得到函數(shù)g(a)在區(qū)間[,]上單調(diào)減,而在(,1]上單調(diào)增,因此不難得出
g(a)的最小值為g()=
解答:解:(1)當(dāng)≤a≤時(shí)N(a)=f(),M(a)=f(1),
此時(shí)g(a)=f(1)-f()=a+-2;
當(dāng)<a≤1時(shí)N(a)=f(),M(a)=f(3),
此時(shí)g(a)=f(3)-f()=9a+-6;
∴g(a)=      …(6分)
(2)當(dāng)≤a≤時(shí),∵g(a)=a+-2,∴g′(a)=1-<0,
∴g(a)在[]上單調(diào)遞減.
同理可知g(a)在(,1]上單調(diào)遞增
∴g(a)min=g()=.…(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查了二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題,屬于基礎(chǔ)題.研究二次函數(shù)的最值的關(guān)鍵是用其圖象,或用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性.
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