Question

5．直線l與雙曲線x²-4y²=4相交于A、B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P（4，1）為線段AB的中點(diǎn)，則直線l的方程是x-y-3=0．

Answer 1

分析 設(shè)出A，B的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式相減，根據(jù)中點(diǎn)的坐標(biāo)可知x₁+x₂和y₁+y₂的值，進(jìn)而求得直線AB的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式求得直線的方程．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=8，y₁+y₂=2，
∵x₁²-4y₁²=4，x₂²-4y₂²=4，
兩式相減可得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）-4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
∴8（x₁-x₂）-8（y₁-y₂）=0，
∴k_AB=1，
∴直線的方程為y-1=1（x-4），即x-y-3=0．
故答案為：x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng) 涉及弦長的中點(diǎn)問題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來，相互轉(zhuǎn)化．