Question

已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、， 焦距為2，過作垂直于橢圓長軸的弦長為3
（1）求橢圓的方程；
（2）若過點(diǎn)的動直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，判斷是否存在直線使得為鈍角，若存在，求出直線的斜率的取值范圍

Answer 1

（1）橢圓方程為；（2）存在定點(diǎn)，使以AB為直徑的圓恒過點(diǎn) 

試題分析：(1) 過作垂直于橢圓長軸的弦長為，由此可得，解得，從而可得橢圓的方程 （2）首先考慮直線的斜率不存在的情況 當(dāng)過直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，設(shè), 由 得： 當(dāng)為鈍角時，，利用韋達(dá)定理將不等式化為含的不等式，解此不等式即可得的取值范圍
試題解析：(1)依題意                                 （2分）
解得，∴橢圓的方程為：                  （4分）
（2）（i）當(dāng)過直線的斜率不存在時，點(diǎn)，
則,顯然不為鈍角                        （5分）
(ii)當(dāng)過直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線的方程為，
設(shè), 由 得：
 恒成立
                             （8分）

                  （11分）
當(dāng)為鈍角時，<0，
綜上所述,滿足條件的直線斜率k滿足且                  （13分）