8.在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=4,E是棱CD上的一點.
(1)求證:AD1⊥平面A1B1D;
(2)求證:B1E⊥AD1
(3)若E是棱CD的中點,在棱AA1上是否存在點P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求出線段AP的長;若不存在,請說明理由.

分析 (1)要證AD1⊥平面A1B1D,只需證明A1B1⊥AD1,AD1⊥A1D即可.
(2)要證B1E⊥AD1,只需證明AD1⊥面A1B1CD即可說明結果.
(3)點P是棱AA1的中點,使得DP∥平面B1AE,通過在AB1上取中點M,連接PM1ME.證明PM∥A1B1,且PM=$\frac{1}{2}$A1B1,然后說明四邊形PMED是平行四邊形,然后證明DP∥平面B1AE.

解答 證明:(1)在長方體ABCD-A1B1C1D1中,
因為A1B1⊥面A1D1DA,
所以A1B1⊥AD1.  …(2分)
在矩形A1D1DA中,因為AA1=AD=2,
所以AD1⊥A1D.…(4分)
所以AD1⊥面A1B1D.…(5分)
(2)因為E∈CD,所以B1E?面A1B1CD,
由(1)可知,AD1⊥面A1B1CD,…(7分)
所以B1E⊥AD1. …(8分)
(3)當點P是棱AA1的中點時,有DP∥平面B1AE.
  …(9分)
理由如下:
在AB1上取中點M,連接PM1ME.
因為P是棱AA1的中點,M是AB1的中點,
所以PM∥A1B1,且PM=$\frac{1}{2}$A1B1.…(10分)
又DE∥A1B1,且DE=$\frac{1}{2}$A1B1
所以PM∥DE,且M=DE,
所以四邊形PMED是平行四邊形,
所以DP∥ME.…(11分)
又DP?面B1AE,ME?面B1AE,
所以DP∥平面B1AE.此時,AP=$\frac{1}{2}$A1A=2. …(13分)

點評 本題考查線面垂直、線線垂直的證明,考查滿足線面平行的點的位置的確定與求法,是中檔題,解題時要認真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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組 數(shù)分 組低碳族的人數(shù)占本組的頻率
第一組[25,30)1200.6
第二組[30,35)195p
第三組[35,40)1000.5
第四組[40,45)a0.4
第五組[45,50)300.3
第六組[50,55]150.3
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