Question

【題目】已知函數(shù)，其中．

（1）若x=2是函數(shù)f（x）的極值點，求在（1，h（1））處的切線方程；

（2）若對任意的（為自然對數(shù)的底數(shù)）都有成立，求實數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由是極值點，可知，從而可得值，再求出，得，此為切線斜率，切線方程為，化簡即可；（2）對本小題命題，可求出的最小值和的最大值，命題可轉(zhuǎn)化為，然后可求得的范圍，最大值由導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)易求，由于中含有參數(shù)，求其最小值時要分類討論．

試題解析：（1）解：∵, ∵x=2是函數(shù)f（x）的極值點，

∴， 即．又a≥1, ∴a=2

∴, ∴,

∴, 又h（1）=6

∴所求的切線方程是 y-1=-（x-6）,即 y=-x+7.

（2）解：對任意的都有≥成立等價于對任意的都有≥

當［1，］時，．

∴函數(shù)在上是增函數(shù)．

∴．

∵，且，．

① 當1≤≤時，

若1≤＜，則，

若＜≤，則．

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)．

∴.

由≥，得≥， 又1≤≤，∴≤≤．

②.當且［1，］時，，

∴函數(shù)在上是減函數(shù)．

∴.由≥，得≥，

又，∴．

綜上所述，的取值范圍為