Question

【題目】已知函數(shù)，（其中a是常數(shù)）.

（1）求過點與曲線相切的直線方程；

（2）是否存在的實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)a，當(dāng)時不等式恒成立，若這樣的實數(shù)k存在，試求k，a的值；若不存在.請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）

（2）存在,,

【解析】

（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義先求出切線斜率，進而可求切線方程，
（2）假設(shè)存在的正實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當(dāng)時不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，分類討論求的最小值，令其大于等于零，利用導(dǎo)數(shù)求出k，a的值即可．

解：（1）設(shè)過點的直線與曲線相切于點，

因，則，

所以在處切線斜率為，

則在處切線方程為，

將代入切線方程得，所以，

所以切線方程為；

（2）假設(shè)存在實數(shù)，使得只有唯一的正數(shù)，當(dāng)時不等式恒成立，即恒成立，

取，可知，

因為，，所以，令，

則，

由得.

（1）當(dāng)時，

時，，則在上為減函數(shù)，

時，，則在上為增函數(shù)，

則，

即，令，

則，由，得，

時，，則在區(qū)間上為減函數(shù)，

時，，則在區(qū)間上為增函數(shù)，

因此存在唯一的正數(shù)，使得，故只能.

所以，

所以，此時a只有唯一值.

（2）當(dāng)時，，所以在上為增函數(shù)，

所以，則，

故.

所以滿足的a不唯一

綜上，存在實數(shù)，a只有唯一值，當(dāng)時，恒有原式成立.