Question

20．已知函數(shù)f（x）=Msin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜$\frac{π}{2}$）的部分圖象如下圖所示，其中A，B分別為函數(shù)f（x）圖象的一個最高點和最低點，且A，B兩點的橫坐標分別為1，4，若$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，則函數(shù)f（x）的一個單調減區(qū)間為（　　）

• A． （-6，-3）
• B． （6，9）
• C． （7，10）
• D． （10，13）

Answer 1

分析 求出函數(shù)的周期，利用周期公式可求ω，利用向量的坐標運算可求M，利用A（1，2）在函數(shù)圖象上可求φ，利用三角函數(shù)的圖象和性質即可得到結論．

解答 解：由題意可得：周期T=2×（4-1）=6=$\frac{2π}{ω}$，
解得：ω=$\frac{π}{3}$，
可得坐標：A（1，M），B（4，-M），$\overrightarrow{OA}$=（1，M），$\overrightarrow{OB}$=（4，-M），
由于：$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，可得：1×4-M²=0，解得：M=2，
可得：2sin（$\frac{π}{3}$×1+φ）=2，解得：$\frac{π}{3}$×1+φ=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
可得：φ=2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z，
由于：0＜φ＜$\frac{π}{2}$，
可得：φ=$\frac{π}{6}$，解得函數(shù)解析式為：f（x）=2sin（$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$），
令2kπ+$\frac{π}{2}$＜$\frac{π}{3}$x+$\frac{π}{6}$＜2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈Z，解得：6k+1＜x＜6k+4，k∈Z，
可得：當k=1時，函數(shù)f（x）的一個單調減區(qū)間為：（7，10）．
故選：C．

點評 本題主要考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，三角函數(shù)的圖象和性質的應用，求出函數(shù)的周期，利用向量的坐標運算求M是解決本題的關鍵，考查了數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．