已知橢圓γ：
x2
4
+y2=1的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為R，點(diǎn)A（2，1），B（-2，1），O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）若P是橢圓γ上任意一點(diǎn)，
OP
=m
OA
+n
OB
，求m2+n2的值；
（2）設(shè)Q是橢圓γ上任意一點(diǎn)，S（t，0），t∈（2，5），求
QS
•
QR
的取值范圍；
（3）過F作斜率為k的直線l交橢圓γ于C，D兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，若
EC
=λ1
CF
，
ED
=λ2
DF
，試探究λ1+λ2是否為定值，說明理由．
考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析：（1）點(diǎn)P在橢圓上，找出點(diǎn)P滿足的關(guān)系式即可求解；
（2）把
QS
•
QR
的數(shù)量積表示出來，然后求其最值即可；
（3）根據(jù)題意把λ1+λ2的值表示出來求值即可．
解答： 解：（1）
OP
=m
OA
+n
OB
=(2m-2n，m+n)，
得P（2m-2n，m+n）
（m-n）2+（m+n）2=1，
即m2+n2=
1
2

（2）設(shè)Q（x，y），則
QS
•
QR
=(t-x，-y)(-2-x，-y)
=(x-t)(x+2)+y2=(x-t)(x+2)+1-
x2
4

=
3
4
x2+(2-t)x+1-2t
=
3
4
(x-
2t-4
3
)2-
(t+1)2
3
(-2≤x≤2)
由t∈（2，5），得0＜
2t-4
3
＜2
當(dāng)x=-2時(shí)，
QS
•
QR
最大值為0；
當(dāng)x=
2t-4
3
時(shí)，
QS
•
QR
最小值為-
(t+1)2
3
；
∴綜上所述：
QS
•
QR
的取值范圍為[-
(t+1)2
3
，0]
（3）由題，得F(
3
，0)，C（x1，y1），D（x2，y2），
直線l的方程為y=k(x-
3
)，則E(0，-
3
k)，
由
x2+4y2=4
y=k(x-
3
)
，得(4k2+1)x2-8
3
k2x+4(3k2-1)=0，
故x1+x2=
8
3
k2
4k2+1
，x1x2=
4(3k2-1)
4k2+1

由
EC
=λ1
CF
得x1=λ1(
3
-x1)，
即λ1=
x1
3
-x1
，同理λ2=
x2
3
-x2

所以λ1+λ2=
x1
3
-x1
+
x2
3
-x2
=
3
(x1+x2)-2x1x2
3-
3
(x1+x2)+x1x2
=
24k2
4k2+1
-
8(3k2-1)
4k2+1
3-
24k2
4k2+1
+
4(3k2-1)
4k2+1
=-8
即λ1+λ2=-8為定值．
點(diǎn)評(píng)：本題是橢圓與向量綜合的題目，求最值難度比較大，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知f（x）為奇函數(shù)，且在（-∞，0）內(nèi)是增函數(shù)，又f（-2）=0，則f（x）＜0的解集為（　�。�
A、（-2，0）∪（0，2）
B、（-∞，-2）∪（0，2）
C、（-∞，-2）∪（2，+∞）
D、（-2，0）∪（2，+∞）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)集合A={x|x2-1＞0}，B={x|x＞1}，則A∩B等于（　�。�
A、{x|x＞1}
B、{x|x＞0}
C、{x|x＜-1}
D、{x|x＞1或x＜-1}

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列命題中：
①經(jīng)過空間任意一點(diǎn)都可作唯一一個(gè)平面與兩條已知異面直線都平行；
②已知平面α，直線a和直線b，且a∩α=A，b⊥a，則b⊥α；
③有兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；
④三棱錐中若有兩組對(duì)棱互相垂直，則第三組對(duì)棱也一定互相垂直；
⑤一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面分別垂直于另一個(gè)二面角的兩個(gè)半平面，則這兩個(gè)角的平面角相等或互補(bǔ)，
其中正確命題的序號(hào)是
 
（請(qǐng)?zhí)钌纤心阏J(rèn)為正確命題的序號(hào)）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}滿足a1=1，an+an+1=an2+bn+1（a，b為常數(shù)，n∈N*）
（1）如果{an}為等差數(shù)列，求a，b的值；
（2）如果{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，求a+b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若M為圓C：x2+y2+6x-4y+12=0上的動(dòng)點(diǎn)，拋物線E：y2=4x的準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P是拋物線E上的任意一點(diǎn)，記點(diǎn)P到l的距離為d，則d+|PM|的最小值為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知下列四下命題：
①命題“若x2＞1，則x＞1”的否命題為“若x2≤1，則x≤1”；
②命題“若α＞β，則tanα＞tanβ”的逆命題為真命題；
③命題“?x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定是“?x∈R都有x2+x+1≥0”；
④“x＞1”是“x2+x-2＞0”的充分不必要條件
其中正確命題的序號(hào)是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn=n2，n∈N*．
（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=
1
anan+1
，n∈N*，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．
（3）設(shè)An=（1+
1
a1
）（1+
1
a2
）（1+
1
a3
）•…•（1+
1
an
），n∈N*，試比較An與
an+1
的大小，并證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

若非零向量
a
，
b
滿足|
a
|=3|
b
|=|
a
+2
b
|，則向量
a
，
b
夾角的正弦值為
 
．

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同步練習(xí)冊(cè)答案