寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:①y=-x2+2|x|+1;②y=|-x2+2x+3|.
【答案】
分析:分別將兩個函數(shù)表示為分段函數(shù)形式,然后利用二次函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
解答:解:①當(dāng)x≥0時,y=-x
2+2|x|+1=y=-x
2+2x+1=-(x-1)
2+2,
此時函數(shù)在[0,1]單調(diào)遞增,在[1,+∞)是上單調(diào)遞減.
當(dāng)x<0時,y=-x
2+2|x|+1=y=-x
2-2x+1=-(x+1)
2+2,
此時函數(shù)在[-1,0)單調(diào)遞減,在(-∞,-1)是上單調(diào)遞增.
所以函數(shù)的增區(qū)間為[0,1]和(-∞,-1).函數(shù)的減區(qū)間為[-1,0)和[1,+∞).
②y=|-x
2+2x+3|=|x
2-2x-3|,
當(dāng)x
2-2x-3≥0,即x≥3或x≤-1,
此時y=|-x
2+2x+3|=|x
2-2x-3|=x
2-2x-3,
當(dāng)x∈[3,+∞)時,函數(shù)單調(diào)遞增.當(dāng)x∈(-∞,-1]時,函數(shù)單調(diào)遞減.
當(dāng)x
2-2x-3<0,即-1<x<3,此時y=|-x
2+2x+3|=|x
2-2x-3|=-x
2+2x+3=-(x-1)
2+4,
所以此時函數(shù)在(-1,1]上單調(diào)遞增,在[1,3)上單調(diào)遞減.
所以函數(shù)的增區(qū)間為[3,+∞)和(-1,1].函數(shù)的減區(qū)間為(-∞,-1]和[1,3).
點評:本題主要考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),要求熟練掌握二次函數(shù)的圖象.