Question

13．各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列{a_n}的前四項(xiàng)的和為S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n；
（2）記T_n為數(shù)列{$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和，求T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)公差為d，利用S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比數(shù)列，建立方程，即可求得首項(xiàng)與公差，從而可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）錯(cuò)位相減法，可求數(shù)列{$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$}的前n項(xiàng)和．

解答 解：（1）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{4{a}_{1}+6d=14}\\{（{a}_{1}+2d）^{2}={a}_{1}（{a}_{1}+6d）}\end{array}\right.$，
解得d=1或d=0，
由數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均不相等，所以d≠0，
所以d=1，
解得a₁=2．
故a_n=n+1．
（2）由（1）可得：$\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n}}$=$\frac{n}{{2}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n}}$，①
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+$\frac{3}{{2}^{4}}$+…+$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，②
由①-②，得
$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$-$\frac{n}{{2}^{n+1}}$，
則T_n=2-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{n}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查錯(cuò)位相減法的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．