【題目】已知為坐標(biāo)原點,橢圓的焦距為,直線截圓與橢圓所得的弦長之比為,橢圓軸正半軸的交點分別為.

1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;

2)設(shè)點)為橢圓上一點,點關(guān)于軸的對稱點為,直線,分別交軸于點,.試判斷是否為定值?若是求出該定值,若不是定值,請說明理由.

【答案】(1);(2)是,定值為4

【解析】

1)由焦距可知c的值,直線截圓的弦長是2a,截橢圓的弦長由直線和橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理可以求出,根據(jù)兩段弦長之比為可以求出a,即得;(2A點坐標(biāo)是橢圓軸正半軸的交點,可以由(1)得出,點關(guān)于軸的對稱點為,分別求出直線AB和直線AC的方程,可得兩直線與x軸的交點MN的坐標(biāo),最后得出為定值。

1)依題意:,,直線與圓相交弦長為直徑.

又∵,∴弦長為,

∴有.,∴求得,.

∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:.

2)由(1)可知,點的坐標(biāo)為,

直線的方程為,令,得.因為點關(guān)于軸的對稱點為,所以.

所以直線的方程為,令,得.

.

又∵點在橢圓上,所以,即.

是否為定值,求得定值為4.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】在直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,以軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,直線的極坐標(biāo)方程為.

1)求的普通方程和的直角坐標(biāo)方程;

2)直線軸的交點為,經(jīng)過點的直線與曲線交于兩點,若,求直線的傾斜角.

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【題目】某居民小區(qū)為緩解業(yè)主停車難的問題,擬對小區(qū)內(nèi)一塊扇形空地進(jìn)行改建.如圖所示,平行四邊形區(qū)域為停車場,其余部分建成綠地,點在圍墻弧上,點和點分別在道路和道路上,且米,,設(shè)

(1)求停車場面積關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式,并指出的取值范圍;

(2)當(dāng)為何值時,停車場面積最大,并求出最大值(精確到平方米).

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(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;

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(1)求證:平面;

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【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為12…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處,再以的概率向右滾下.

(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗,求小球落入第7層第6個空隙處的概率;

(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.

i)求X的分布列:

ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?

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【題目】在下列命題中:①在中,,,,則解三角形只有唯一解的充要條件是:;②當(dāng)時,;③在中,若,則中一定為鈍角三角形;④扇形圓心角為銳角,周長為定值,則它面積最大時,一定有;⑤函數(shù)的單增區(qū)間為,其中真命題的序號為_____.

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【題目】在某大學(xué)自主招生考生中,所有選報Ⅱ類志向的考生全部參加了數(shù)學(xué)與邏輯閱讀與表達(dá)兩個科目的考試,成績分為AB,C,DE五個等級.某考場考生兩科的考試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下圖所示,其中數(shù)學(xué)與邏輯科目的成績?yōu)?/span>B的考生有20.

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2)若等級AB,CDE分別對應(yīng)5分,4分,3分,2分,1.

i)求該考場考生數(shù)學(xué)與邏輯科目的平均分;

ii)若該考場共有7人得分大于7分,其中有210分,29分,38分,從這7中隨機(jī)抽取兩人,求兩人成績之和大于等于18的概率.

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