【題目】已知函數(shù)的圖像與軸相切,.
(1)求證:;
(2)若,求證:.
【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2)證明見(jiàn)解析
【解析】
(1)求出的導(dǎo)數(shù),設(shè)的圖象與x軸相交于點(diǎn),可得,解方程可得,原不等式等價(jià)于,設(shè),求出導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間,可得極值、最值,即可得證;
(2)設(shè),求出導(dǎo)數(shù),運(yùn)用(1)的結(jié)論可得單調(diào)遞增,再由不等式的性質(zhì)可得,即,再運(yùn)用的單調(diào)性和不等式的性質(zhì),證得,進(jìn)而證得右邊不等式.
(1)由題得,設(shè)的圖像與軸相切于點(diǎn),則
,即,解得,
所以,則,即為.
設(shè),則.
當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減.
所以,即,
所以;
(2)先證,設(shè),則,
由(1)可知,當(dāng)時(shí),,從而有,所以單調(diào)遞增.
又,從而有,即,
所以,即.
再證,因?yàn)?/span>
,
又由(1)知,,故在單調(diào)遞增,
則,即,所以.
又,所以.
綜上可知,.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,某市準(zhǔn)備在道路EF的一側(cè)修建一條運(yùn)動(dòng)比賽道,賽道的前一部分為曲線段FBC.該曲線段是函數(shù)時(shí)的圖象,且圖象的最高點(diǎn)為B賽道的中間部分為長(zhǎng)千米的直線跑道CD,且CD∥EF;賽道的后一部分是以為圓心的一段圓弧DE.
(1)求的值和∠DOE的大;
(2)若要在圓弧賽道所對(duì)應(yīng)的扇形ODE區(qū)域內(nèi)建一個(gè)“矩形草坪”,矩形的一邊在道路EF上,一個(gè)頂點(diǎn)在半徑OD上,另外一個(gè)頂點(diǎn)P在圓弧DE上,求“矩形草坪”面積的最大值,并求此時(shí)P點(diǎn)的位置.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),.
(1)若函數(shù)f(x)在處有極值,求函數(shù)f(x)的最大值;
(2)是否存在實(shí)數(shù)b,使得關(guān)于x的不等式在上恒成立?若存在,求出b的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由;
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù),.
(1)若,判斷的奇偶性,并說(shuō)明理由;
(2)若,,求在上的最小值;
(3)若,,有三個(gè)不同實(shí)根,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】將函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍(縱坐標(biāo)不變),得到的圖像.
(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)若對(duì)于任意的,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如果項(xiàng)有窮數(shù)列滿足,即,那么稱有窮數(shù)列為“對(duì)稱數(shù)列”.例如,由組合數(shù)組成的數(shù)列就是“對(duì)稱數(shù)列”.
(1)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為7的“對(duì)稱數(shù)列”,其中成等比數(shù)列,且寫(xiě)出數(shù)列的每一項(xiàng);
(2)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為的“對(duì)稱數(shù)列”,其中是公差為2的等差數(shù)列,且求取得最大值時(shí)的取值,并求最大值;
(3)設(shè)數(shù)列是項(xiàng)數(shù)為的對(duì)稱數(shù)列”,且滿足記為數(shù)列的前項(xiàng)和,若求的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】若存在與正實(shí)數(shù),使得成立,則稱函數(shù)在處存在距離為的對(duì)稱點(diǎn),把具有這一性質(zhì)的函數(shù)稱之為“型函數(shù)”.
(1)設(shè),試問(wèn)是否是“型函數(shù)”?若是,求出實(shí)數(shù)的值;若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(2)設(shè)對(duì)于任意都是“型函數(shù)”,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列中,,且點(diǎn)()在直線上.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)對(duì)任意的,將數(shù)列落入?yún)^(qū)間內(nèi)的項(xiàng)的個(gè)數(shù)記為,求的通項(xiàng)公式;
(3)對(duì)于(2)中,記,數(shù)列前項(xiàng)和為,求使等式成立的所有正整數(shù)、的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《流浪地球》是由劉慈欣的科幻小說(shuō)改編的電影,在2019年春節(jié)檔上影,該片上影標(biāo)志著中國(guó)電影科幻元年的到來(lái);為了振救地球,延續(xù)百代子孫生存的希望,無(wú)數(shù)的人前仆后繼,奮不顧身的精神激蕩人心,催人奮進(jìn).某網(wǎng)絡(luò)調(diào)查機(jī)構(gòu)調(diào)查了大量觀眾的評(píng)分,得到如下統(tǒng)計(jì)表:
評(píng)分 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
頻率 | 0.03 | 0.02 | 0.02 | 0.03 | 0.04 | 0.05 | 0.08 | 0.15 | 0.21 | 0.36 |
(1)求觀眾評(píng)分的平均數(shù)?
(2)視頻率為概率,若在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取1人,他的評(píng)分恰好是10分的概率是多少?
(3)視頻率為概率,在評(píng)分大于等于8分的觀眾中隨機(jī)地抽取4人,用表示評(píng)分為10分的人數(shù),求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
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