Question

已知函數(shù)f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

(x∈R)．則函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上的值域為

[-

1

2

，

3

2

]

．

Answer 1

分析：利用三角函數(shù)的恒等變換花間函數(shù)的解析式為sin（2x-

π

6

），根據(jù)x的范圍求得2x-

π

6

的范圍，可得sin（2x-

π

6

）的范圍，
從而求得函數(shù)的值域．

解答：解：∵f(x)=

3

sinxcosx-cos2x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=sin（2x-

π

6

）．
當(dāng)x∈[0，

π

4

]，有2x-

π

6

∈[-

π

6

，

π

3

]，-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）≤

3

2

，
∴-

1

2

≤sin（2x-

π

6

）-1≤

3

2

，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

4

]上的值域為 [-

1

2

，

3

2

]，
故答案為 [-

1

2

，

3

2

]．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．