【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=x2+bln(x+1),其中b≠0.
(1)當(dāng)b=1時,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線方程;
(2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)n∈N* , 且n≥2時證明不等式:ln[( +1)( +1)…( +1)]+ + +…+

【答案】
(1)解:f(x)=x2+ln(1+x),則f′(x)=2x+ ,

曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,0)處的切線斜率為f′(0)=1,

切點(diǎn)為(0,0),則切線方程為y=x


(2)解:f′(x)=2x+ = (x>﹣1),

當(dāng)b 時,f′(x)≥0,f(x)在x>﹣1上遞增;

當(dāng)b< ,f′(x)=0,解得,x1= ,x2= ,

①當(dāng)b<0時,x1<﹣1,x2>﹣1,f′(x)>0,得x>x2,f′(x)<0,得﹣1<x<x2,

②當(dāng)0<b< 時,x1>﹣1,x2>﹣1,f′(x)>0,得x>x2,﹣1<x<x1,f′(x)<0,得x1<x<x2

綜上可得,當(dāng)b 時,f(x)的增區(qū)間為(﹣1,+∞);

當(dāng)b<0時,f(x)的增區(qū)間為( ,+∞),減區(qū)間為(﹣1, );

當(dāng)0<b< 時,f(x)的增區(qū)間為( ,+∞),(﹣1,

減區(qū)間為( ,


(3)解:b=﹣1時,f(x)=x2﹣ln(x+1),

令h(x)=x3﹣f(x)=x3﹣x2+ln(x+1),h′(x)= 在x≥0恒正,

h(x)在[0,+∞)遞增,x>0時,h(x)>h(0)=0,即當(dāng)x>0時,x3﹣x2+ln(x+1)>0,

即ln(x+1)+x3>x2,對任意的n為正整數(shù),取x= ,有l(wèi)n(1+ )+

則ln[( +1)( +1)…( +1)]+ + +…+

=ln(1+ )+ln(1+ )+…+ln(1+ )+ + +…+

=ln(1+ )+ +ln(1+ )+ +…+ln(1+ )+

+ +…+ + +…+

= + +…+

=


【解析】(1)求出導(dǎo)數(shù),求出切線的斜率和切點(diǎn),由點(diǎn)斜式的方程即可得到;(2)求出導(dǎo)數(shù),討論當(dāng)b 時,當(dāng)b<0時,0<b< 時,令導(dǎo)數(shù)大于0得增區(qū)間,令導(dǎo)數(shù)小于0,得減區(qū)間,注意定義域;(3)b=﹣1時,f(x)=x2﹣ln(x+1),令h(x)=x3﹣f(x)=x3﹣x2+ln(x+1),求出導(dǎo)數(shù),運(yùn)用單調(diào)性得到當(dāng)x>0時,x3﹣x2+ln(x+1)>0,即ln(x+1)+x3>x2,對任意的n為正整數(shù),取x= ,有l(wèi)n(1+ )+ .再由對數(shù)的性質(zhì)和裂項(xiàng)相消求和即可得證.
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù),需要了解一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系: 在某個區(qū)間內(nèi),(1)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增;(2)如果,那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減;求函數(shù)上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個最大值,最小的是最小值才能得出正確答案.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】設(shè)全集U=R,集合M={x||x﹣ | },P={x|﹣1≤x≤4},則(UM)∩P等于(
A.{x|﹣4≤x≤﹣2}
B.{x|﹣1≤x≤3}
C.{x|3<x≤4}
D.{x|3≤x≤4}

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分組

頻數(shù)

頻率

[50,60)

5

0.05

[60,70)

a

0.20

[70,80)

35

b

[80,90)

25

0.25

[90,100)

15

0.15

合計(jì)

100

1.00

(I)求a,b的值及隨機(jī)抽取一考生恰為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅱ)按頻率分布表中的成績分組,采用分層抽樣抽取20人參加學(xué)校的“我愛國學(xué)”宣傳活動,求其中優(yōu)秀生的人數(shù);
(Ⅲ)在第(Ⅱ)問抽取的優(yōu)秀生中指派2名學(xué)生擔(dān)任負(fù)責(zé)人,求至少一人的成績在[90,100]的概率.

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【題目】隨著智能手機(jī)的發(fā)展,微信越來越成為人們交流的一種方式.某機(jī)構(gòu)對使用微信交流的態(tài)度進(jìn)行調(diào)查,隨機(jī)調(diào)查了 50 人,他們年齡的頻數(shù)分布及對使用微信交流贊成人數(shù)如表.

年齡(歲)

[15,25)

[25,35)

[35,45)

[45,55)

[55,65)

[65,75)

頻數(shù)

5

10

15

10

5

5

贊成人數(shù)

5

10

12

7

2

1

(I)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面 2×2 列聯(lián)表,并判斷是否有99%的把握認(rèn)為年齡45歲為分界點(diǎn)對使用微信交流的態(tài)度有差異;

年齡不低于45歲的人

年齡低于45歲的人

合計(jì)

贊成

不贊成

合計(jì)

(Ⅱ)若對年齡在[55,65),[65,75)的被調(diào)查人中隨機(jī)抽取兩人進(jìn)行追蹤調(diào)查,記選中的4人中贊成使用微信交流的人數(shù)為X,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望
參考公式:K2= ,其中n=a+b+c+d
參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0

0.050

0.010

0.001

k0

3.841

6.635

10.828

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A.34
B.68
C.96
D.102

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(1)求函數(shù)f(x)的解析式;
(2)若f(3x1)>f(x+5)成立,求x的取值范圍.

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A.
B.2
C. ﹣1
D.1+

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