Question

【題目】在直角坐標(biāo)系xOy中，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．若曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，直線l： （t為參數(shù)）過曲線C的焦點(diǎn)，且與曲線C交于M，N兩點(diǎn)．
（1）寫出曲線C及直線l直角坐標(biāo)方程；
（2）求|MN|．

Answer 1

【答案】
（1）解：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，

可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，可得直角坐標(biāo)方程：y2+4y﹣（x2+y2）=0，即x2=4y．

直線l： （t為參數(shù)）消去參數(shù)t可得普通方程：y﹣3=（x﹣2）tanα．

由題意可知：直線經(jīng)過點(diǎn)（0，1），∴﹣2=﹣2tanα，可得tanα=1．

∴直線l的方程為：y﹣3=x﹣2，化為y=x+1

（2）解：聯(lián)立 ，化為：x2﹣4x﹣4=0，

∴|MN|= = =8

【解析】（1）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρsin2θ+4sinθ﹣ρ=0，可得ρ2sin2θ+4ρsinθ﹣ρ2=0，利用互化公式可得直角坐標(biāo)方程．由直線l的參數(shù)方程，消去參數(shù)t可得普通方程，把拋物線焦點(diǎn)（0，1）代入即可得出．（2）直線方程與拋物線方程聯(lián)立化為：x2﹣4x﹣4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其|MN|= 即可得出．