設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①
an+an+22
≤an+1,②an≤M.其中n∈N+,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).
(1)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=5n-2n,證明:{bn}∈W;
(2)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a4=2,S4=20,證明:{Sn}∈W并求M的取值范圍.
分析:(1)由bn=5n-2n,分別代入:①
an+an+2
2
≤an+1,②an≤M.驗(yàn)證是否成立,進(jìn)而可判斷{bn}∈W
(2)根據(jù)等差數(shù)列{an}滿足a4=2,S4=20,構(gòu)造方程可求出其首項(xiàng)和公差,進(jìn)而得到其通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式,將{Sn},代入:①
an+an+2
2
≤an+1,②an≤M.驗(yàn)證是否成立,進(jìn)而可判斷{Sn}∈W,根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可得W的取值范圍.
解答:證明:(1)
bn+bn+2
2
=
5n-2n+5(n+2)-2n+2
2
=5(n+1)-
5
4
2n+1

bn+1=5(n+1)-2n+1
5
4
2n+12n+1
bn+bn+2
2
bn+1
…(3分)
bn+1-bn=5(n+1)-2n+1-5n+2n=5-2n
∴當(dāng)n≤2時(shí)bn+1>bn
當(dāng)n≥3時(shí)bn+1<bn,
∴當(dāng)n=3時(shí),{bn}取得最大值7
∴bn≤7,由已知{bn}∈W…(6分)
(2)由已知:設(shè)an=a1+(n-1)d
∵a4=2,s4=20
∴a1+3d=4,4a1+6d=20
得∴a1=8,d=-2,
∴an=10-2n,
sn=8n+
n(n+1)
2
•(-2)=-n2+9n
…(8分)
sn+sn+2
2
=
-n2+9n-(n+1)2+9(n+2)
2
=-n2+7n+7

sn+1=-(n+1)2+9(n+1)=-n2+7n+8,
sn+sn+2
2
sn+1
…(10分)
sn=-n2+9n=-(n-
9
2
)2+
81
4

又∵n∈N+,
∴當(dāng)n=4或5時(shí),{sn}取得最大值20
∴sn≤20…(13分)
∴{sn}∈W且M≥20
∴M的取值范圍為M≥20…(14分)
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是數(shù)列的應(yīng)用,等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,其中正確理解集合W中兩個(gè)條件的含義是解答的關(guān)鍵.
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相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①
an+an+22
an+1
;②an≤M,其中n∈N*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).
(1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a3=4,S3=18,證明:{Sn}∈W
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=5n-2n,且{bn}∈W,求M的取值范圍;
(3)設(shè)數(shù)列{cn}的各項(xiàng)均為正整數(shù),且{cn}∈W,證明:cn<cn+1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①對(duì)任意n∈N+
an+an+22
≤an+1,恒成立;②對(duì)任意n∈N+,存在與n無(wú)關(guān)的常數(shù)M,使an≤M恒成立.
(Ⅰ)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,且a3=4,S3=18,試探究數(shù)列{Sn}與集合W之間的關(guān)系;
(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn=5n-2n,且{bn}∈W,求M的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•莆田模擬)設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①
an+an+2
2
an+1
;②an≤M,其中n∈N*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù).現(xiàn)給出下列的四個(gè)無(wú)窮數(shù)列:(1)an=2n-n2;(2)an=3n-2n;(3)an=2n;(4)an=3-(
1
3
)n
,寫(xiě)出上述所有屬于集合W的序號(hào)
(1)(4)
(1)(4)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)集合W是滿足下列兩個(gè)條件的無(wú)窮數(shù)列{an}的集合:①
an+an+2
2
an+1
②an≤M,其中n∈N*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)
(1)若{an}是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)的和,a3=4,S3=18,試探究{Sn}與集合W之間的關(guān)系;
(2)設(shè)數(shù)列{bn}的通項(xiàng)為bn=5n-2n,且{bn}∈W,M的最小值為m,求m的值;
(3)在(2)的條件下,設(shè)Cn=
1
5
[bn+(m-5)n]+
2
,求證:數(shù)列{Cn}中任意不同的三項(xiàng)都不能成為等比數(shù)列.

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