Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，10a _n+1﹣9a_n﹣1=0， ．
（1）求證：數(shù)列{a_n﹣1}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)n取何值時(shí)，b_n取最大值；
（3）若 對任意m∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：∵a₁₀a_n+1﹣9a_n﹣1=0，
∴ ．
∴ ，
∵a₁=2，
∴{a_n﹣1}是以a₁﹣1=1為首項(xiàng)，公比為 的等比數(shù)列．
（2）解：由（ 1），可知a_n﹣1= （n∈N*）． ∴ ， ．當(dāng)n=7時(shí)， ，b₈=b₇；
當(dāng)n＜7時(shí)， ，b_n+1＞b_n；
當(dāng)n＞7時(shí)， ，b_n+1＜b_n．
∴當(dāng)n=7或n=8時(shí)，b_n取最大值，最大值為 ．
（3）解：由 ，得 ．（*）
依題意，（*）式對任意m∈N*恒成立，
①當(dāng)t=0時(shí)，（*）式顯然不成立，因此t=0不合題意．
②當(dāng)t＜0時(shí)，由 ，可知t^m＜0（m∈N*），而當(dāng)m是偶數(shù)時(shí)t^m＞0，因此t＜0不合題意．
③當(dāng)t＞0時(shí)，由t^m＞0（m∈N*），
∴ ，∴ （m∈N*）．
設(shè) （m∈N*）， ∵ = ，
∴h（1）＞h（2）＞…＞h（m﹣1）＞h（m）＞…．
∴h（m）的最大值為 ．
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是 ．