Question

14．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，a₁=$\frac{1}{5}$，且對(duì)于任意正整數(shù)m，n都有a_n+m=a_n•a_m．若S_n＜a對(duì)任意n∈N*恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 由a_m+n=a_m•a_n，令m等于1化簡(jiǎn)后，由等比數(shù)列的定義確定此數(shù)列是等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式表示出S_n，利用極限思想和條件求出滿足條件a的范圍，再求出a的最小值．

解答 解：由題意得，對(duì)任意正整數(shù)m，n，都有a_m+n=a_m•a_n，
令m=1，得到a_n+1=a₁•a_n，所以$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=a₁=$\frac{1}{5}$，
則數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)、公比都為$\frac{1}{5}$的等比數(shù)列，
所以S_n=$\frac{\frac{1}{5}[1-（\frac{1}{5}）^{n}]}{1-\frac{1}{5}}$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{{5}^{n}}）$＜$\frac{1}{4}$，
因?yàn)镾_n＜a對(duì)任意n∈N*恒成立，所以a≥$\frac{1}{4}$，則實(shí)數(shù)a的最小值是$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列關(guān)系的確定，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式，以及不等式恒成立問(wèn)題，是一道綜合題．