Question

2．函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$，x∈（2，8]的值域?yàn)椋ā　。?table class="qanwser">A．[0，2]B．[-$\frac{1}{4}$，2]C．（0，2]D．（-$\frac{1}{4}$，2]

Answer 1

分析 將函數(shù)f（x）化簡(jiǎn)為f（x）=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•lo{g}_{2}（\frac{x}{2}×\frac{1}{2}）$利用換元法轉(zhuǎn)為二次函數(shù)求解即可．

解答 解：函數(shù)f（x）=log₂$\frac{x}{2}$•log₂$\frac{x}{4}$=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•lo{g}_{2}（\frac{x}{2}×\frac{1}{2}）$=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}•（lo{g}_{2}\frac{x}{2}-1）$
令t=$lo{g}_{2}\frac{x}{2}$，
∵x∈（2，8]，
∴t∈（0，2]．
函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化為g（t）=t（t-1）=t²-t，
開(kāi)口向上，對(duì)稱軸t=$\frac{1}{2}$，
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時(shí)，函數(shù)g（t）取得最小值為$-\frac{1}{4}$，
當(dāng)t=2時(shí)，函數(shù)g（t）取得最大值為2．
∴函數(shù)g（t）的值域?yàn)閇$-\frac{1}{4}$，2]，即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇$-\frac{1}{4}$，2]，
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)計(jì)算以及性質(zhì)和值域的求法，利用了換元法．