Question

若曲線xy=a（a≠0），則過曲線上任意一點(diǎn)的切線與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積是（　�。�

• A、2a²
• B、a²
• C、2|a|
• D、|a|

Answer 1

考點(diǎn)：定積分在求面積中的應(yīng)用

專題：計(jì)算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：設(shè)曲線xy=kaa≠0）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），對xy=a變形為y=

a

x

，結(jié)合點(diǎn)P的坐標(biāo)，可得切線的方程，聯(lián)立曲線的方程，進(jìn)而可得直線在x、y軸上的截距，由三角形面積公式，計(jì)算可得答案．

解答： 解：設(shè)曲線xy=a（a≠0）上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是P（x₀，y₀），
xy=a變形為y=

a

x

，求導(dǎo)數(shù)，得y′=-

a

x2

，
于是，切線的方程是y-y₀=-

a

x02

（x-x₀），
注意到x₀y₀=a，容易得出切線在x軸與y軸的截距分別是x_截距=2x₀，
y_截距=

2a

x0

，
于是，所求三角形的面積為2|a|．
故選：C．

點(diǎn)評：本題涉及求曲線的切線方程，解題時，一般步驟是先設(shè)變量或坐標(biāo)，再求或聯(lián)立；最后進(jìn)行計(jì)算．