Question

14．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，取相同的長度單位，已知曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）寫出曲線C的直角坐標(biāo)方程和直線l的普通方程．
（Ⅱ）若P（3，$\sqrt{5}$），直線l與曲線C相交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|+|PN|的值．

Answer 1

分析 （I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，利用ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，即可化為直角坐標(biāo)方程．直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t可得普通方程．
（II）把直線l的方程代入圓的方程可得：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系可得PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|．

解答 解：（I）曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ=2$\sqrt{5}$sinθ，即ρ²=2$\sqrt{5}$ρsinθ，可得直角坐標(biāo)方程：x²+y²-2$\sqrt{5}$y=0．
直線l的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=3-\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=\sqrt{5}+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)）消去參數(shù)t可得普通方程：x+y-3-$\sqrt{5}$=0．
（II）把直線l的方程代入圓的方程可得：t²-3$\sqrt{2}$t+4=0，
則t₁+t₂=3$\sqrt{2}$，t₁t₂=4．
∴|PM|+|PN|=|t₁|+|t₂|=|t₁+t₂|=3$\sqrt{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)方程的互化、參數(shù)方程化為普通方程、直線與圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．