Question

已知函數(shù) 
（1）求函數(shù)f(x)的極值；
（2）如果當(dāng)時，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；
（3）求證.

Answer 1

（1）函數(shù)在處取得極大值f（1）="1" ，無極小值。
（2）
（3）見解析

解析試題分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)的思想，通過導(dǎo)數(shù)的符號判定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得到極值。
（2）要證明不等式恒成立，移項(xiàng)，右邊為零，將左邊重新構(gòu)造新的函數(shù)，證明函數(shù)的最小值大于零即可。
（3）在第二問的基礎(chǔ)上，放縮法得到求和的不等式關(guān)系。
解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/5f/d/humaa3.png" style="vertical-align:middle;" />， x >0，則，…………1分
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
所以在（0，1）上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在處取得極大值f（1）="1" ，無極小值。…………3分
（2）不等式即為 記
所以…………7分
令，則，     ，    
在上單調(diào)遞增，  ，從而，
故在上也單調(diào)遞增，  所以，所以 . ……9分
（3）由（2）知：恒成立，即， 
令，則
所以 , ， ，…  …  
，                                …………12分
疊加得：
 .
則，所以 …………14分
考點(diǎn)：本題主要考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。
點(diǎn)評：解決該試題的關(guān)鍵是對于導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的熟練的運(yùn)用，并能結(jié)合單調(diào)性求解函數(shù)的 極值和最值問題。難點(diǎn)是對于遞進(jìn)關(guān)系的試題，證明不等式，往往要用到上一問的結(jié)論。