Question

設(shè)集合M={f(x)|x∈(0，+∞)，f(x)=f(

1

x

)}．
（1）已知函數(shù)f(x)=

x

1+x2

(x＞0)，求證：f（x）∈M；
（2）對于（1）中的函數(shù)f（x），求證：存在定義域為[2，+∞）的函數(shù)g（x），使得g(x+

1

x

)=f(x)對任意x＞0成立．
（3）對于任意f（x）∈M，求證：存在定義域為[2，+∞）的函數(shù)g（x），使得等式g(x+

1

x

)=f(x)對任意x＞0成立．

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）驗證函數(shù)的表達式是否滿足f（x）=f（

1

x

）．從而得到結(jié)論．
（2）利用函數(shù)f（x）的解析式，求出g（x+

1

x

）的表達式，然后判斷即可．
（3）通過函數(shù)的零點，討論當x＞0時，則g（x+

1

x

），當0＜x＜1時，g（x+

1

x

）當x＞1時，g（x+

1

x

）的表達式是否滿足題意即可．

解答： 證明：（1）由f(x)=

x

1+x2

(x＞0)可得，f（

1

x

）=

1 x

1+ 1 x2

=

x

1+x2

，…3分
因此f（x）=f（

1

x

）．又x＞0，∴f（x）∈M．…4分
（2）由f（x）=

x

1+x2

=

1

x+ 1 x

，
設(shè)函數(shù)g（x）=

1

x

（x≥2），當x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2．…8分
則g（x+

1

x

）=

1

x+ 1 x

=

x

1+x2

=f（x）．…10分
即存在定義域為[2，+∞）的函數(shù)g（x），使得等式g（x+

1

x

）=f（x）對任意x＞0成立．
（3）當x＞0時，設(shè)x+

1

x

=t，則t≥2，
可得x²-tx+1=0，解得x=

t± t2-4

2

，…12分
設(shè)函數(shù)g（x）=f（

t+ t2-4

2

）（x≥2），當x＞0時，x+

1

x

≥2

x• 1 x

=2．…13分
則g（x+

1

x

）=f（

x+ 1 x + (x+ 1 x )2-4

2

）=f（

x+ 1 x +|x- 1 x |

2

）．…14分
當0＜x＜1時，x≤

1

x

，g（x+

1

x

）=f（

x+ 1 x -x+ 1 x

2

）=f（

1

x

）=f（x）…16分
當x＞1時，x＞

1

x

，g（x+

1

x

）=f（

x+ 1 x +x- 1 x

2

）=f（x）．…18分
即存在定義域為[2，+∞）的函數(shù)g（x），使得等式g（x+

1

x

）=f（x）對任意x＞0成立．

點評：本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查學生對探究性理解水平，考查分析問題解決問題的能力．