動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式
(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?請(qǐng)寫(xiě)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知定點(diǎn)T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值;
(3)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)G為線段AB的中點(diǎn),直線OG與該軌跡相交于C,D兩點(diǎn),若直線AB,CD,AC,AD,DB,BC的斜率分別為k1,k2,k3,k4,k5,k6,求證:k1•k2=k3•k4=k5•k6
【答案】分析:(1)根據(jù),可得(x,y)到,的距離的和為6,大于兩定點(diǎn)間的距離,故點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且a=3,c=,從而可求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2),0≤x≤3,構(gòu)造函數(shù),配方可得,0≤x≤3,再進(jìn)行分類(lèi)討論,利用|MT|的最小值為1,即可求t的值;
(3)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),G(x,y),則x1+x2=2x,y1+y2=2y,設(shè)C(x3,y3),則D(-x3,-y3
根據(jù)點(diǎn)在橢圓上,利用點(diǎn)差法,即可證得結(jié)論.
解答:(1)解:∵
∴(x,y)到,的距離的和為6,大于兩定點(diǎn)間的距離
∴點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓,且a=3,c=
∴b2=4
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
(2)解:,0≤x≤3
,0≤x≤3
①當(dāng),即時(shí),
,∴,解得,而,故舍去
②當(dāng),即時(shí),,
,∴t2-6t+9=1,解得t=2或t=4,而,故舍去
,故t=2符合題意;綜上可知,t=2
(3)證明:設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),G(x,y),則x1+x2=2x,y1+y2=2y

,
設(shè)C(x3,y3),則D(-x3,-y3
,
,
同理,
∴k1•k2=k3•k4=k5•k6
點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓的定義,考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,考查分類(lèi)討論的數(shù)學(xué)思想,考查配方法求函數(shù)的最值,考查點(diǎn)差法的運(yùn)用,解題的關(guān)鍵是正確分類(lèi),合理運(yùn)用點(diǎn)差法.
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動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式
(x-
5
)
2
+y2
+
(x+
5
)
2
+y2
=6

(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?請(qǐng)寫(xiě)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知定點(diǎn)T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值;
(3)設(shè)直線l不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O,與動(dòng)點(diǎn)M的軌跡相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)G為線段AB的中點(diǎn),直線OG與該軌跡相交于C,D兩點(diǎn),若直線AB,CD,AC,AD,DB,BC的斜率分別為k1,k2,k3,k4,k5,k6,求證:k1•k2=k3•k4=k5•k6

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動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式
(x-
3
)
2
+y2
+
(x+
3
)
2
+y2
=4

(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?請(qǐng)寫(xiě)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知直線y=x+t與M的軌跡交于A、B兩點(diǎn),且OA⊥OB(O為原點(diǎn)),求t的值.

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動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)在其運(yùn)動(dòng)過(guò)程中總滿足關(guān)系式
(x-
5
)
2
+y2
+
(x+
5
)
2
+y2
=6

(1)點(diǎn)M的軌跡是什么曲線?請(qǐng)寫(xiě)出它的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知定點(diǎn)T(t,0)(0<t<3),若|MT|的最小值為1,求t的值.

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