Question

已知數(shù)列中，，且．

(Ⅰ) 求數(shù)列的通項公式；

(Ⅱ) 令，數(shù)列的前項和為，試比較與的大�。�

(Ⅲ) 令，數(shù)列的前項和為．求證：對任意，

都有 ．

Answer 1

解析：(Ⅰ)由題知， ，

由累加法，當(dāng)時，

代入，得時，

又，故．                        ．．．．．．．．．．．．．．．．4分

（II）時，．

方法1：當(dāng)時，；當(dāng)時，；

當(dāng)時，．

猜想當(dāng)時，．                                ．．．．．．．．．．．．．．．．6分

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，由上可知成立；

②假設(shè)時，上式成立，即.

當(dāng)時，左邊

，所以當(dāng)時成立．

由①②可知當(dāng)時,．                        

綜上所述：當(dāng)時,；當(dāng)時, ；

當(dāng)時,．                       ．．．．．．．．．．．．．．．10分

方法2：

記函數(shù)

所以                     ．．．．．．．．．6分

則

所以．

由于，此時；

，此時；

，此時；

由于，，故時，，此時．

綜上所述：當(dāng)時，；當(dāng)時,．    ．．．．．．．．．．．10分

（III）

當(dāng)時，

所以當(dāng)時

＋．

且

故對，得證．                               ．．．．．．．．．．．．．．．．．14分