Question

4．已知函數(shù)f（x）=e^2x-（x-1）²，（e≈2.71828）
（1 ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（l，f（1））處的切線方程；
（2）設(shè)方程f（x）=m-1+4x-x²在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，求變數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），從而求出切線方程即可；（2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為2x+m=e^2x在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得到關(guān)于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（1）∵f（x）=e^2x-（x-1）²，
∴f′（x）=2（e^2x-x+1），
∴f（1）=e²，f′（1）=2e²，
∴切線方程是y-e²=2e²（x-1），
即2e²x-y-e²=0；
（2）方程f（x）=m-1+4x-x²在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的實(shí)根，
即2x+m=e^2x在[-1，2]上恰有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
x=-1時(shí)，e^2x=$\frac{1}{{e}^{2}}$，x=1時(shí)，e^2x=e²，
結(jié)合題意$\left\{\begin{array}{l}{2×0+m{＞e}^{2×0}}\\{2×（-1）+m{≤e}^{2×（-1）}}\end{array}\right.$，
解得：1＜m≤2+$\frac{1}{{e}^{2}}$，
即m的范圍是（1，2+$\frac{1}{{e}^{2}}$]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了曲線的切線方程問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，是一道中檔題．