Question

（本小題滿分12分）(原創(chuàng)題)
在平面直角坐標(biāo)系中，已知，若實數(shù)使向量。
（1）求點的軌跡方程，并判斷點的軌跡是怎樣的曲線；
（2）當(dāng)時，過點且斜率為的直線與此時（1）中的曲線相交的另一點為，能否在直線上找一點，使為正三角形（請說明理由）。

Answer 1

當(dāng)時，方程為，P的軌跡是圓。
當(dāng)，即時，方程為，點的軌跡是雙曲線。
當(dāng)，即=±1時，方程為，點的軌跡是射線。,在直線上找不到點滿足條件

解：（1）由已知可得，,,,
∵，∴
即點的軌跡方程
當(dāng)，且，即時，有，
∵，∴，∴
∴P點的軌跡是點為長軸的焦點在軸上的橢圓。………………………………3分
當(dāng)時，方程為，P的軌跡是圓。
當(dāng)，即時，方程為，點的軌跡是雙曲線。
當(dāng)，即=±1時，方程為，點的軌跡是射線。……………………6分
（2）過點且斜率為的直線方程為,
當(dāng)時，曲線方程為，
由（1）知，其軌跡為以為長軸的焦點在軸上的橢圓。
因直線過
所以，點B不存在。
所以，在直線上找不到點滿足條件。          …………………………12分