Question

如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點，G、H分別在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求證：E、F、G、H四點共面．
（2）設(shè)EG與HF交于點P，求證：P、A、C三點共線．

Answer 1

分析：（1）利用三角形的中位線平行于第三邊；平行線分線段成比例定理，得到EF、GH都平行于BD，利用平行線的傳遞性得到EF∥GH
據(jù)兩平行線確定以平面得證．
（2）利用分別在兩個平面內(nèi)的點在兩個平面的交線上，得證．

解答：證明：（1）∵，E、F分別是AB、AD的中點
∴EF∥BD
∵BG：GC=DH：HC=1：2
∴GH∥BD
∴EF∥GH
E、F、G、H四點共面．
（2）∵EG與HF交于點P∴P在面ABC內(nèi)，
同理P在面DAC
又∵面ABC∩面DAC=AC
∴P在直線AC上
∴P、A、C三點共線．

點評：本題考查三角形的中位線性質(zhì)、平行線分線段成比例定理、直線的平行性的傳遞性、確定平面的條件、證三點共線常用的方法．