Question

（2013•海淀區(qū)二模）已知函數(shù)f（x）=e^x，A（a，0）為一定點(diǎn)，直線x=t（t≠0）分別與函數(shù)f（x）的圖象和x軸交于點(diǎn)M，N，記△AMN的面積為S（t）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先根據(jù)題意得到函數(shù)S（t）的解析式，再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系解不等式即可求函數(shù)S（t）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a＞2時(shí)，若?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，轉(zhuǎn)化為S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e．先求S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1．下面對(duì)字母a進(jìn)行分類討論：a-1≥2；a-1＜2．可得出關(guān)于a的不等關(guān)系，從而可求出a的范圍；

解答：解：（I） 因?yàn)?span id="5vfnpjh" class="MathJye">S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a…（2分）
當(dāng)a=0，S(t)=

1

2

|t|et，其中t≠0
當(dāng)t＞0時(shí)，S(t)=

1

2

tet，S′(t)=

1

2

(t+1)et，
所以S'（t）＞0，所以S（t）在（0，+∞）上遞增，…（4分）
當(dāng)t＜0時(shí)，S(t)=-

1

2

tet，S′(t)=-

1

2

(t+1)et，
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＞0，解得t＜-1，所以S（t）在（-∞，-1）上遞增
令S′(t)=-

1

2

(t+1)et＜0，解得t＞-1，所以S（t）在（-1，0）上遞減 …（7分）
綜上，S（t）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞），（-∞，-1），S（t）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-1，0）
（II）因?yàn)?span id="zvfxljd" class="MathJye">S(t)=

1

2

|t-a|et，其中t≠a
當(dāng)a＞2，t∈[0，2]時(shí)，S(t)=

1

2

(a-t)et
因?yàn)?t₀∈[0，2]，使得S（t₀）≥e，所以S（t）在[0，2]上的最大值一定大于等于e，
S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et，令S'（t）=0，得t=a-1…（8分）
當(dāng)a-1≥2時(shí)，即a≥3時(shí)S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0對(duì)t∈（0，2）成立，S（t）單調(diào)遞增，
所以當(dāng)t=2時(shí)，S（t）取得最大值S(2)=

1

2

(a-2)e2
令

1

2

(a-2)e2≥e，解得   a≥

2

e

+2，
所以a≥3…（10分）
當(dāng)a-1＜2時(shí)，即a＜3時(shí)S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＞0對(duì)t∈（0，a-1）成立，S（t）單調(diào)遞增，S′(t)=-

1

2

[t-(a-1)]et＜0對(duì)t∈（a-1，2）成立，S（t）單調(diào)遞減，
所以當(dāng)t=a-1時(shí)，S（t）取得最大值S(a-1)=

1

2

ea-1，
令S(a-1)=

1

2

ea-1≥e，解得a≥ln2+2，
所以ln2+2≤a＜3…（12分）
綜上所述，ln2+2≤a…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題，同時(shí)考查分析問題、解決問題的能力以及分類討論的數(shù)學(xué)思想．