Question

16．已知{ a_n}是公差不為零的等差數(shù)列，且其前4項和為10，且a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式； 
（Ⅱ）設(shè)b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，（a₁+2d）²=a₁•（a₁+8d），求得d=a₁，由S₄=4a₁+6d=10，即可求得a₁=1，d=1，數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n； 
（Ⅱ）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，利用“裂項法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項和S_n．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{ a_n}是公差為d，
∵a₁，a₃，a₉成等比數(shù)列，
∴a₃²=a₁•a₉，
∴（a₁+2d）²=a₁•（a₁+8d），
整理得：d=a₁，①
由S₄=4a₁+6d=10，②
解得：a₁=1，d=1，
由等差數(shù)列的通項公式可知：a_n=1+（n-1）=n，
∴數(shù)列{a_n}的通項公式a_n=n； 
（Ⅱ）由（1）b_n=$\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n，S_n=（1-$\frac{1}{2}$）+（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$）+（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$）+…+（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
=1-$\frac{1}{n+1}$，
=$\frac{n}{n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項和S_n=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式及性質(zhì)，考查“裂項法”求數(shù)列通項公式，考查計算能力，屬于中檔題．