Question

已知向量

m

=（1，

3

），單位向量

n

滿足

m

•

n

=-1．
（Ⅰ）求向量

n

；
（Ⅱ）設(shè)向量

p

=（2cos²

θ

2

，cos（

π

3

-θ）），其中θ為銳角，且向量

n

與x軸平行，求|

p

-

n

|的取值范圍．

Answer 1

考點：二倍角的余弦,向量的模,平面向量數(shù)量積的運算

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用向量

n

是單位向量，直接求解即可；
（Ⅱ）通過向量

n

與x軸平行，判斷向量

n

，然后求|

p

-

n

|的表達式，通過角的范圍求出相位的范圍，然后求解所求表達式的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)向量

n

=（x，y），則依題意有：

x2+y2 =1 -x+ 3 y=-1

，…（2分）
解出：

x=1 y=0

或

x=- 1 2 y=- 3 2

  即 

n

=（1，0）或

n

=(-

1

2

，-

3

2

)．…（4分）
（Ⅱ）∵向量

n

與x軸平行，∴

n

=（1，0）…（5分）
∴

p

-

n

=（2cos²

θ

2

-1，cos（

π

3

-θ））=（cosθ，cos（

π

3

-θ）），…（6分）
∴|

p

-

n

|=cos²θ+cos²（

π

3

-θ）=

1+cos2θ

2

+

1+cos2( π 3 -θ)

2

=1+

1

2

[cos2θ+cos(

2π

3

-2θ)]=

1

2

cos(2θ-

π

3

)+1       …（8分）
∵θ為銳角，∴-

π

3

＜2θ-

π

3

＜

2π

3

．
∴-

1

2

＜

1

2

cos(2θ-

π

3

)+1≤1        …（10分）
∴|

p

-

n

|的取值范圍：（

3

2

，

6

2

]…（12分）

點評：本題考查向量的模，三角函數(shù)的化簡求值，函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應用，考查計算能力．