Question

【題目】已知函數(shù)（，且、）.設(shè)關(guān)于的不等式的解集為，且方程的兩實(shí)根為、.

（1）若，完成下列問(wèn)題：

①求、的關(guān)系式；

②若、都是負(fù)整數(shù)，求的解析式；

（2）若，求證: .

Answer 1

【答案】（1）①；②；（2）見(jiàn)解析.

【解析】

（1）①要求、的關(guān)系式，可根據(jù)方程的兩實(shí)根為、．結(jié)合韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系），用、表示、．又則，給出、的關(guān)系，但在分析過(guò)程中，要注意方程有兩個(gè)不相等的根時(shí)，方程的判別式大于零；

②由可得出，由題意可得出，由此得出，且，可解出的取值范圍，進(jìn)而可求出負(fù)整數(shù)、的值，從而可得出函數(shù)的解析式；

（2）由，根據(jù)零點(diǎn)的存在定理可以得到，代入可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于、的不等式組，畫(huà)出它們表示的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃不難得到結(jié)論．

（1）①由，得，由已知得，

由韋達(dá)定理得，，

則，化簡(jiǎn)得，

所以，、的關(guān)系式為；

②，得，

因?yàn)?/span>、均為負(fù)整數(shù)，則，且、，

由可得，解得.

，，當(dāng)時(shí)，（舍）；當(dāng)時(shí)，，合乎題意.

綜上所述，；

（2）令，

又，，則，

又因?yàn)榉匠?/span>的兩根為、，則，，

，

作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：

由圖象可知，，所以，，

因此，.