Question

【題目】已知函數(shù)，曲線在（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線與圓在點(diǎn)處的切線平行.

（Ⅰ）證明： ；

（Ⅱ）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） .

【解析】試題分析：（Ⅰ）易知圓在點(diǎn)處的切線方程為，知在處的導(dǎo)數(shù)為2，得， 求導(dǎo)得最值最小值為，即可證得；

（Ⅱ）不等式 在上恒成立，即 在上恒成立. 設(shè) ， ，求最值即可.

試題解析：

（Ⅰ）證明： ， ，

易知圓在點(diǎn)處的切線方程為，

由題意知， ，即，解得，

， ，令，得，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)， ， 在上單調(diào)遞增.

因此， 在處取得極小值，也為最小值，最小值為，

又，故.

（Ⅱ）不等式 在上恒成立，

即 在上恒成立.

設(shè) ， ，

則 ，

①當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 在上是減函數(shù)，又，

故當(dāng)時(shí)，總有，符合題意；

②當(dāng)時(shí)，令，解得或，

易知在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，又，

故當(dāng)時(shí)，總有，不符合題意；

③當(dāng)時(shí)， 在上恒成立， 在上是減函數(shù)，又，故當(dāng)時(shí)，總有，符合題意.

綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.