【題目】橢圓C: =1的右焦點(diǎn)F,過焦點(diǎn)F的直線l0⊥x軸,P(x0 , y0)(x0y0≠0)為C上任意一點(diǎn),C在點(diǎn)P處的切線為l,l與l0相交于點(diǎn)M,與直線l1:x=3相交于N.
(I) 求證;直線 =1是橢圓C在點(diǎn)P處的切線;
(Ⅱ)求證: 為定值,并求此定值;
(Ⅲ)請問△ONP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是否存在最小值?若存在,請求出最小及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】證明:(Ⅰ)∵P(x0 , y0)在橢圓C: 上,
,即 ,
∴直線 過點(diǎn)P(x0 , y0),
,消去y,并利用 ,得 ,
即6x2﹣12x0x+6x02=0,即6(x﹣x02=0,∴x=x0
∴直線 =1與橢圓C在點(diǎn)P處有且僅有一個(gè)交點(diǎn),
綜上,直線 是橢圓C在點(diǎn)P處的切線.
(Ⅱ)在 中,令x=1,得y= ,∴M(1, ),
中,令x=3,得y= ,∴N(3, ),
又F(1,0),∴|FM|=| |=2| |,
|FN|= =2 =2 =2
= 為定值.
解:(Ⅲ)在直線 中,令y=0,得x= ,
∴切線l與x軸的交點(diǎn)為G( ,0),
SONP= = =
= | || |
= | || |
=
=| |= ,
SONP= = = = ,
令3﹣x0= ,由﹣ ,得 ,且t ,
= = = = ,
∴當(dāng)t= ,x0=1時(shí),△ONP(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是存在最小值{SONP}min= ,
此時(shí)P(1, ).

【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出直線 過點(diǎn)P(x0 , y0),由 ,得 ,由此能證明直線 是橢圓C在點(diǎn)P處的切線.(Ⅱ)在 中,令x=1,M(1, ),令x=3,得N(3, ),由此求出|FM|,|FN|,由此能證明 為定值.(Ⅲ)求出切線l與x軸的交點(diǎn)為G( ,0),推導(dǎo)出SONP= = ,令3﹣x0= ,利用配方法能求出△ONP的面積的最小值及對應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo).

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②當(dāng)a+b>0時(shí),有f(a)+f(b)>0,
則稱函數(shù)f(x)為Ω函數(shù).
在下列函數(shù)中:
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課程

數(shù)學(xué)1

數(shù)學(xué)2

數(shù)學(xué)3

數(shù)學(xué)4

數(shù)學(xué)5

合計(jì)

選課人數(shù)

180

540

540

360

180

1800

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