【題目】如圖,四棱錐中,,底面是梯形,AB∥CD,,AB=PD=4,CD=2,,M為CD的中點,N為PB上一點,且.
(1)若MN∥平面PAD;
(2)若直線AN與平面PBC所成角的正弦值為,求異面直線AD與直線CN所成角的余弦值.
【答案】(1)見解析(2)
【解析】(1)當(dāng)時,在PA上取點E,使得,連接EN,DE,
,
EN∥AB,且,
M為CD的中點,CD=2,
,
又AB∥CD,EN∥DM,EN=DM,
四邊形DMNE是平行四邊形,
MN∥DE,
又 平面PAD,MN平面PAD,
MN∥平面PAD.
(2)如圖所示,過點D作DHAB于H,則DHCD.以D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.
則D(0,0,0),M(0,1,0),C(0,2,0),B(2,2,0),A(2,2,0),P(0,0,4),
∴,
.
該平面BC的法向量為,則由,得,令z=1,得.
該直線AN與平面PBC所成的角為,則
,解得
∴,
設(shè)直線AD與直線CN所成的角為,
則.
所以直線AD與直線CN所成角的余弦值為.
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【題目】已知函數(shù),.
(1)若在處取得極值,求的值;
(2)設(shè),試討論函數(shù)的單調(diào)性;
(3)當(dāng)時,若存在正實數(shù)滿足,求證:.
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【題目】有120粒試驗種子需要播種,現(xiàn)有兩種方案:方案一:將120粒種子分種在40個坑內(nèi),每坑3粒;方案二:120粒種子分種在60個坑內(nèi),每坑2粒 如果每粒種子發(fā)芽的概率為0.5,并且,若一個坑內(nèi)至少有1粒種子發(fā)芽,則這個坑不需要補種;若一個坑內(nèi)的種子都沒發(fā)芽,則這個坑需要補種(每個坑至多補種一次,且第二次補種的種子顆粒同第一次).假定每個坑第一次播種需要2元,補種1個坑需1元;每個成活的坑可收貨100粒試驗種子,每粒試驗種子收益1元.
(1)用表示播種費用,分別求出兩種方案的的數(shù)學(xué)期望;
(2)用表示收益,分別求出兩種方案的收益的數(shù)學(xué)期望;
(3)如果在某塊試驗田對該種子進(jìn)行試驗,你認(rèn)為應(yīng)該選擇哪種方案?
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【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若函數(shù)在處取得極值,對恒成立,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】新能源汽車的春天來了!2018年3月5日上午,李克強總理做政府工作報告時表示,將新能源汽車車輛購置稅優(yōu)惠政策再延長三年,自2018年1月1日至2020年12月31日,對購置的新能源汽車免征車輛購置稅.某人計劃于2018年5月購買一輛某品牌新能源汽車,他從當(dāng)?shù)卦撈放其N售網(wǎng)站了解到近五個月實際銷量如下表:
月份 | 2017.12 | 2018.01 | 2018.02 | 2018.03 | 2018.04 |
月份編號t | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
銷量(萬輛) | 0.5 | 0.6 | 1 | 1.4 | 1.7 |
(1)經(jīng)分析,可用線性回歸模型擬合當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌噷嶋H銷量(萬輛)與月份編號之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求關(guān)于的線性回歸方程,并預(yù)測2018年5月份當(dāng)?shù)卦撈放菩履茉雌嚨匿N量;
(2)2018年6月12日,中央財政和地方財政將根據(jù)新能源汽車的最大續(xù)航里程(新能源汽車的最大續(xù)航里程是指理論上新能源汽車所裝的燃料或電池所能夠提供給車跑的最遠(yuǎn)里程)對購車補貼進(jìn)行新一輪調(diào)整.已知某地擬購買新能源汽車的消費群體十分龐大,某調(diào)研機構(gòu)對其中的200名消費者的購車補貼金額的心理預(yù)期值進(jìn)行了一個抽樣調(diào)查,得到如下一份頻數(shù)表:
補貼金額預(yù)期值區(qū)間(萬元) | ||||||
20 | 60 | 60 | 30 | 20 | 10 |
將頻率視為概率,現(xiàn)用隨機抽樣方法從該地區(qū)擬購買新能源汽車的所有消費者中隨機抽取3人,記被抽取3人中對補貼金額的心理預(yù)期值不低于3萬元的人數(shù)為,求的分布列及數(shù)學(xué)期望.
參考公式及數(shù)據(jù):①回歸方程,其中,,②,.
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【題目】古代“五行”學(xué)認(rèn)為:“物質(zhì)分金、木、土、水、火五種屬性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金.”將五種不同屬性的物質(zhì)任意排成一列,但排列中屬性相克的兩種物質(zhì)不相鄰,則這樣的排列方法有
A.5種B.10種
C.20種D.120種
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【題目】2019年4月20日,遼寧省人民政府公布了“”新高考方案,方案中“2”指的是在思想政治、地理、化學(xué)、生物4門中選擇2門.“2”中記入高考總分的單科成績是由原始分轉(zhuǎn)化得到的等級分,學(xué)科高考原始分在全省的排名越靠前,等級分越高.小明同學(xué)是2018級的學(xué)生.已確定了必選地理且不選政治,為確定另選一科,小明收集并整理了生物與化學(xué)近10大聯(lián)考的成績百分比排名數(shù)據(jù)x(如的含義是指在該次考試中,成績高于小明的考生占參加該次考試的考生數(shù)的)繪制莖葉圖如下.
則由圖中數(shù)據(jù)生物學(xué)科聯(lián)考百分比排名的分位數(shù)為________.從平均數(shù)的角度來看你認(rèn)為小明更應(yīng)該選擇________.(填生物或化學(xué))
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【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知在極坐標(biāo)系中,點,,是線段的中點,以極點為原點,極軸為軸的正半軸,并在兩坐標(biāo)系中取相同的長度單位,建立平面直角坐標(biāo)系,曲線的參數(shù)方程是(為參數(shù)).
(1)求點的直角坐標(biāo),并求曲線的普通方程;
(2)設(shè)直線過點交曲線于兩點,求的值.
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【題目】已知奇函數(shù).
(1)求實數(shù)的值,并畫出函數(shù)的圖象;
(2)若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù),結(jié)合函數(shù)的圖象,求實數(shù)的取值范圍;
(3)結(jié)合圖象,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
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