Question

對于兩個定義域相同的函數f（x），g（x），若存在實數m，n使得h（x）=mf（x）+ng（x），則稱函數h（x）是“函數f（x），g（x）的一個線性表達”．
（1）若偶函數h（x）是“函數f（x）=x²+3x，g（x）=3x+4的一個線性表達”，求h（2）；
（2）若h（x）=2x²+3x-1是“函數f（x）=x²+ax，g（x）=x+b（a，b∈R，ab≠0）的一個線性表達”，求a+2b的取值范圍．

Answer 1

考點：函數與方程的綜合運用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據其是偶函數這一性質得到引入參數的方程，求出參數的值，即得函數的解析式，代入自變量求值即可．
（2）先用待定系數法表示出偶函數h（x），再根據同一性建立引入參數的方程求參數，然后再求a+2b的取值范圍．

解答： 解：（1）設h（x）=m（x²+3x）+n（3x+4）=mx²+3（m+n）x+4n，
∵h（x）是偶函數，∴m+n=0，∴h（2）=4m+4n=0；（4分）
（2）設h（x）=2x²+3x-1=m（x²+ax）+n（x+b）=mx²+（am+n）x+nb
∴

m=2 am+n=3 nb=-1

得

a= 3-n 2 b=- 1 n

∴a+2b=

3

2

-

n

2

-

2

n

（8分）
由ab≠0知，n≠3，
∴a+2b∈（-∞，-

2

3

）∪(-

2

3

，-

1

2

]∪[

7

2

，+∞)（12分）

點評：本題考點是函數的奇偶性與單調性綜合，考查了利用偶函數建立方程求參數以及利用同一性建立方程求參數，本題涉及到函數的性質較多，綜合性，抽象性很強，做題時要做到每一步變化嚴謹，才能保證正確解答本題．