如圖，三棱錐P-ABC中，PC平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD平面PAB

(1)求證：AB平面PCB；

(2)求異面直線AP與BC所成角的大��；

(3)求二面角C-PA-B 的大小的余弦值。

 

【答案】

(1)  PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，CD平面PAB，AB平面PAB，

CD AB。又，AB 平面PCB (2)  (3)

【解析】

試題分析：（1） PC平面ABC，AB平面ABC，PCAB，

CD平面PAB，AB平面PAB， CD AB。又，AB 平面PCB

（2）由（1）AB 平面PCB ，PC=AC=2， 又AB=BC， 可求得BC=

以B為原點，如圖建立空間直角坐標系，

則A（0，，0），B（0，0，0）， C（，0，0）  P（，0，2）

=（，-，2），=（，0，0） 則=+0+0=2

   異面直線AP與BC所成的角為

（3）設(shè)平面PAB的法向量為m=（x，y，z）=（0，-，0），=（，，2）

則，即，得m=（，0，-1）設(shè)平面PAC的法向量為n=（x，y，z）

=（0，0，-2），=（，-，0），則

得n=（1，1，0）cos<m,n>=  二面角C-PA-B大小的余弦值為

考點：線面垂直的判定及異面直線所成角，二面角

點評：線面垂直的判定定理：一條直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則直線垂直于平面，向量法求兩直線所成角，二面角時首先找到直線的方向向量和平面的法向量，通過求解向量夾角的到相應(yīng)角

 

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，三棱錐P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=AC=2，AB=BC，D是PB上一點，且CD⊥平面PAB
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PCB；
（Ⅱ）求二面角C-PA-B的大小的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2006•石景山區(qū)一模）如圖，三棱錐P-ABC中，
PA
•
AB
=
PA
•
AC
=
AB
•
AC
=0，
PA
2=
AC
2=4
AB
2．
（Ⅰ）求證：AB⊥平面PAC；
（Ⅱ）若M為線段PC上的點，設(shè)
|
PM|
|PC
|
=λ，問λ為何值時能使直線PC⊥平面MAB；
（Ⅲ）求二面角C-PB-A的大�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•湖南模擬）如圖，三棱錐P-ABC中，側(cè)面PAC⊥底面ABC，∠APC=90°，且AB=4，AP=PC=2，BC=2
2
．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面PBC；
（Ⅱ）若E為側(cè)棱PB的中點，求直線AE與底面ABC所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2012•德陽二模）如圖，三棱錐P-ABC中，PA丄面ABC，∠ABC=90°，PA=AB=1，BC=2，則P-ABC的外接球的表面積為
6π
6π
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在三棱錐P-ABC中，AB⊥PC，AC=2，BC=4，AB=2
3
，∠PCA=30°．
（1）求證：AB⊥平面PAC． （2）設(shè)二面角A-PC-B•的大小為θ•，求tanθ•的值．

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