如圖,已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)的離心率e=
6
3
,短軸長(zhǎng)為2.
(1)求橢圓的方程.
(2)已知定點(diǎn)E(-1,0),若直線y=kx+2(k≠0)與橢圓交于C、D兩點(diǎn).問(wèn):是否存在k的值,使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)?請(qǐng)說(shuō)明理由.
(1)∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
(a>b>0)的離心率e=
6
3
,短軸長(zhǎng)為2,
a2-b2
a
=
6
3
b=1
,
∴a=
3
,b=1,
橢圓方程為
x2
3
+y2=1

(2)假若存在這樣的k值,由
y=kx+2
x2+3y2-3=0
得(1+3k2)x2+12kx+9=0.
∴△=(12k)2-36(1+3k2)>0①
設(shè)C(x1,y1)、D(x2,y2),則
x1+x2=-
12k
1+3k2
x1x2=
9
1+3k2

若以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn),則
EC
ED
=0,即(x1+1)(x2+1)+y1y2=0,
而y1y2=(kx1+2)(kx2+2)=k2x1x2+2k(x1+x2)+4,
代入上式得,化為(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.
把(**)代入上式得
9k2
1+3k2
-
12k(2k+1)
1+3k2
+5=0

解得k=
7
6
,滿足k2>1.
∴存在k=
7
6
,使得以線段CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn).
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

如圖,已知拋物線C:y2=4x焦點(diǎn)為F,直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn)
(Ⅰ)若線段AB的中點(diǎn)在直線y=1上,求直線l的方程;
(Ⅱ)若線段|AB|=20,求直線l的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到點(diǎn)F(2,0)的距離比點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離大2,
(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程;
(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)F且斜率為2
2
的直線交軌跡C于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)兩點(diǎn),P(x3,y3)(x3≥0)為軌跡C上一點(diǎn),若
OP
=
OA
OB
,求λ的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知圓C:x2+y2-2x+4y-4=0,
(Ⅰ)若過(guò)定點(diǎn)(-2,0)的直線l與圓C相切,求直線l的方程;
(Ⅱ)若過(guò)定點(diǎn)(-1,0)且傾斜角為
π
6
的直線l與圓C相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的中點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C1的方程為
x2
4
+y2=1,雙曲線C2的左、右焦點(diǎn)分別為C1的左、右頂點(diǎn),而C2的左、右頂點(diǎn)分別是C1的左、右焦點(diǎn).
(Ⅰ)求雙曲線C2的方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+
2
與橢圓C1及雙曲線C2都恒有兩個(gè)不同的交點(diǎn),且l與C2的兩個(gè)交點(diǎn)A和B滿足
OA
OB
<6(其中O為原點(diǎn)),求k的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:解答題

已知直線l:y=2x與拋物線C:y=
1
4
x2
交于A(xA,yA)、O(0,0)兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)O與直線l垂直的直線交拋物線C于點(diǎn)B(xB,yB).如圖所示.
(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)求經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)的直線與y軸交點(diǎn)M的坐標(biāo);
(3)過(guò)拋物線y=
1
4
x2
的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的直線,過(guò)這兩條直線與拋物線的交點(diǎn)A、B的直線AB是否恒過(guò)定點(diǎn),如果是,指出此定點(diǎn),并證明你的結(jié)論;如果不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

線段PQ是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
過(guò)M(1,0)的一動(dòng)弦,且直線PQ與直線x=4交于點(diǎn)S,則
|SM|
|SP|
+
|SM|
|SQ|
=______.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:填空題

直線與雙曲線x2-4y2=4交于A、B兩點(diǎn),若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(8,1),則直線的方程為_(kāi)_____.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

如圖,圓O的半徑為定長(zhǎng)r,A是圓O外一定點(diǎn),P是圓上任意一點(diǎn).線段AP的垂直平分線l和直線OP相交于點(diǎn)Q,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)Q的軌跡是( 。
A.橢圓B.圓C.雙曲線D.直線

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