在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,為動(dòng)點(diǎn),且直線與直線的斜率之積為.
(1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線相交于不同的兩點(diǎn).若點(diǎn)軸上,且,求點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍.

(1);(2).

解析試題分析:本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、直線方程、中點(diǎn)坐標(biāo)公式等基礎(chǔ)知識(shí),突出解析幾何的基本思想和方法的考查:如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、坐標(biāo)化方法等.第一問(wèn),設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),利用斜率的關(guān)系列出表達(dá)式,整理出方程;第二問(wèn),先根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行討論,當(dāng)斜率存在時(shí),設(shè)出直線方程,因?yàn)橄嘟,所以?lián)立方程,消參,得到關(guān)于的方程,找到中點(diǎn)坐標(biāo),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/ff/a/pu1fb.png" style="vertical-align:middle;" />,所以找直線的垂直平分線,令,得到縱坐標(biāo),討論的正負(fù),利用基本不等式得到范圍.
試題解析:(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,依題意可知,
整理得.                     3分
所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程為.            5分
(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí),滿足條件的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為.       7分
當(dāng)直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的方程為.
代入并整理得,
.  .           8分  
設(shè),,則,.
設(shè)的中點(diǎn)為,則,
所以.                 10分
由題意可知,
又直線的垂直平分線的方程為.
解得 .                        .   11分
當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/3a/c/9rza12.png" style="vertical-align:middle;" />,所以;      
當(dāng)時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/7f/d/1obv14.png" style="vertical-align:middle;" />,所以.   .   13分
綜上所述,點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍是.               .   14分
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.中點(diǎn)坐標(biāo)公式;3.垂直平分線方程;4.基本不等式.

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