Question

12．二項(xiàng)式（$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{2}{x}$）¹⁰的展開(kāi)式中$\sqrt{x}$的系數(shù)是（　�。�

• A． -$\frac{15}{2}$
• B． $\frac{15}{2}$
• C． -$\frac{35}{8}$
• D． $\frac{35}{8}$

Answer 1

分析 先求出二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，再令x的冪指數(shù)等于$\frac{1}{2}$，求得k的值，即可求得展開(kāi)式中的含$\sqrt{x}$的項(xiàng)的系數(shù)值即可．

解答 解：設(shè)第（k+1）項(xiàng)是$\sqrt{x}$，
則第（k+1）項(xiàng)是${C}_{10}^{k}$${（\frac{\sqrt{x}}{2}）}^{10-k}$${（-\frac{2}{x}）}^{k}$=${C}_{10}^{k}$•2^k-10•（-2）^k•${x}^{\frac{1}{2}（10-k）-k}$，
故$\frac{1}{2}$（10-k）-k=$\frac{1}{2}$，解得：k=3，
∴${C}_{10}^{k}$•2^k-10•（-2）^k=${C}_{10}^{3}$•2^-7•（-2）³=-$\frac{15}{2}$，
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．