Question

6．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左、右焦點分別是F₁和F₂，點A、B分別是橢圓的上、下頂點，四邊形AF₁BF₂是正方形．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）點$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$是橢圓C上一點．
①求橢圓C的方程；
②若動點P在直線y=-a²上（不在y軸上），直線PB與橢圓交于另一個點M．
證明：直線AM和直線AP的斜率之積為定值．

Answer 1

分析 （1）利用四邊形AF₁BF₂是正方形是正方形，列出方程，然后求解離心率．
（2）①由（1）設橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}{a^2}}}=1$，代入$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，然后求出橢圓方程．
②設點P（x₀，-8），其中x₀≠0設M（x₁，y₁），A（0，2），B（0，-2），通過M，B，P三點共線∴$\frac{{{y_1}+2}}{x_1}=-\frac{6}{x_0}$，求出斜率，得到斜率乘積，化簡推出結果即可．

解答 解：（1）四邊形AF₁BF₂是正方形是正方形，∴$b=c=\frac{{\sqrt{2}}}{2}a$，∴$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（4分）
（2）①由（1）設橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\frac{1}{2}{a^2}}}=1$，代入$（\sqrt{2}，\sqrt{3}）$，得$C：\frac{2}{a^2}+\frac{6}{a^2}=1$，∴a²=8，
∴橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$．…（8分）
②設點P（x₀，-8），其中x₀≠0設M（x₁，y₁）A（0，2），B（0，-2），
∵M，B，P三點共線∴$\frac{{{y_1}+2}}{x_1}=-\frac{6}{x_0}$（*）
又${k_{AM}}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}\;\;\;\;\;{k_{AP}}=-\frac{10}{x_0}$，∴${k_{AM}}{k_{AP}}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}•\;（-\frac{10}{x_0}）$，
由（*）可知∴${k_{AM}}{k_{AP}}=\frac{5}{3}\frac{{{y_1}^2-4}}{{{x_1}^2}}$（**），
∵M（x₁，y₁）在橢圓$C：\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$上∴${y_1}^2=4（1-\frac{{{x_1}^2}}{8}）$，
代入（**）得${k_{AM}}{k_{AP}}=-\frac{5}{6}$為定值．…（14分）

點評 本題考查橢圓方程的求法，直線與橢圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．