【題目】已知一個口袋有m個白球,n個黑球(m,n∈N* , n≥2),這些球除顏色外全部相同.現(xiàn)將口袋中的球隨機的逐個取出,并放入如圖所示的編號為1,2,3,…,m+n的抽屜內,其中第k次取出的球放入編號為k的抽屜(k=1,2,3,…,m+n).
1 | 2 | 3 | … | m+n |
(Ⅰ)試求編號為2的抽屜內放的是黑球的概率p;
(Ⅱ)隨機變量x表示最后一個取出的黑球所在抽屜編號的倒數(shù),E(X)是X的數(shù)學期望,證明E(X)< .
【答案】解:(Ⅰ)設事件Ai表示編號為i的抽屜里放的是黑球,
則p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2| )P( )
=
= = .
證明:(Ⅱ)∵X的所有可能取值為 ,…, ,
P(x= )= ,k=n,n+1,n+2,…,n+m,
∴E(X)= ( )=
= < =
= ( )
= = ,
∴E(X)< .
【解析】(Ⅰ)設事件Ai表示編號為i的抽屜里放的是黑球,則p=p(A2)=P(A2|A1)P(A1)+P(A2| )P( ),由此能求出編號為2的抽屜內放的是黑球的概率.
(Ⅱ)X的所有可能取值為 ,…, ,P(x= )= ,k=n,n+1,n+2,…,n+m,從而E(X)= ( )= ,由此能證明E(X)< .
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=excosx﹣x.(13分)
(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0, ]上的最大值和最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如下圖所示,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成的角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)求二面角F-BE-D的余弦值;
(3)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,橢圓E: =1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1 , F2 , 離心率為 ,兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E上,且位于第一象限,過點F1作直線PF1的垂線l1 , 過點F2作直線PF2的垂線l2 .
(Ⅰ)求橢圓E的標準方程;
(Ⅱ)若直線l1 , l2的交點Q在橢圓E上,求點P的坐標.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在直角梯形PBCD中, ,A為PD的中點,如下左圖。將沿AB折到的位置,使,點E在SD上,且,如下圖。
(1)求證: 平面ABCD;
(2)求二面角E—AC—D的正切值.
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【題目】(本小題滿分14分)
如圖1,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,AC⊥BC,D為側棱PC上一點,它的正(主)視圖和側(左)視圖如圖2所示.
(1) 證明:AD⊥平面PBC;
(2) 在∠ACB的平分線上確定一點Q,使得PQ∥平面ABD,并求此時PQ的長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知直線過橢圓的右焦點且與橢圓交于兩點, 為中點, 的斜率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)設是橢圓的動弦,且其斜率為1,問橢圓上是否存在定點,使得直線的斜率滿足?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知三棱錐S﹣ABC的所有頂點都在球O的球面上,SC是球O的直徑,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱錐S﹣ABC的體積為9,則球O的表面積為 .
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