Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+2bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，F(xiàn)（x）=

f(x)  ，  x＞0 -f(x) ，  x＜0

（Ⅰ）若f（-1）=0，且函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），求F（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）設(shè)m•n＜0，m+n＜0，a＜0且f（x）為偶函數(shù)，判斷F（m）+F（n）能否小于零．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由已知條件，利用f（-1）=0，得到a-2b+1=0，利用f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），利用根的判別式能求出f（x），由此能求出F（x）．
（Ⅱ）由f（x）=ax²+2bx+1是偶函數(shù)，求出F（x），由此利用已知條件結(jié)合函數(shù)F（x）有性質(zhì)能推導(dǎo)出F（m）+F（n）不能小于零．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax²+2bx+1（a，b為實(shí)數(shù)），x∈R，f（-1）=0，
∴a-2b+1=0，
又∵f（x）的值域?yàn)閇0，+∞），
∴△=4b²-4a=0，a＞0，
∴b²-（2b-1）=0，
∴b=1，a=1，
∴f（x）=x²+2x+1=（x+1）²．
∵F（x）=

f(x)  ，  x＞0 -f(x) ，  x＜0

，
∴F（x）=

(x+1)2，x＞0 -(x+1)2，x＜0

，（6分）
（Ⅱ）∵f（x）=ax²+2bx+1是偶函數(shù)，
∴f（x）=ax²+1，
∵F（x）=

f(x)  ，  x＞0 -f(x) ，  x＜0

，
∴F（x）=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

，
∵m•n＜0，設(shè)m＞n，則n＜0．
又m+n＜0，-n＞m＞0，
∴|m|＜|-n|，
F（m）+F（n）=f（m）-f（n）=（am²+1）-an²-1=a（m²-n²）＞0，
∴F（m）+F（n）不能小于零．（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)表達(dá)式的求法，考查兩個(gè)函數(shù)值之和的判斷，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)的奇偶性、根的判別式、二次函數(shù)性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的靈活運(yùn)用．