Question

7．人耳的聽(tīng)力情況可以用電子測(cè)聽(tīng)器檢測(cè)，正常人聽(tīng)力的等級(jí)為0-25db（分貝），并規(guī)定測(cè)試值在區(qū)間（0，5]為非常優(yōu)秀，測(cè)試值在區(qū)間（5，10]為優(yōu)秀，某班50名同學(xué)都進(jìn)行了聽(tīng)力測(cè)試，所得測(cè)試值制成頻率分布直方圖：
（Ⅰ）現(xiàn)從聽(tīng)力等級(jí)為（0，10]的同學(xué)中任意抽取出4人，記聽(tīng)力非常優(yōu)秀的同學(xué)人數(shù)X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望．
（Ⅱ）在（Ⅰ）中抽出的4人中任選一人參加一個(gè)更高級(jí)別的聽(tīng)力測(cè)試，測(cè)試規(guī)則如下：四個(gè)音叉的發(fā)聲情況不同，由強(qiáng)到弱的次序分別為1，2，3，4，測(cè)試前將音叉隨機(jī)排列，被測(cè)試的同學(xué)依次聽(tīng)完后給四個(gè)音叉按發(fā)音的強(qiáng)弱標(biāo)出一組序號(hào)a₁，a₂，a₃，a₄（其中a₁，a₂，a₃，a₄為1，2，3，4的一個(gè)排列），若Y為兩次排序偏離程度的一種描述，Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，求Y≤2的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意得X的可能值為0，1，2，3，4，
求出對(duì)應(yīng)的概率，寫出X的分布列，計(jì)算數(shù)學(xué)期望值；
（Ⅱ）序號(hào)a₁，a₂，a₃，a₄的排列總數(shù)為${A}_{4}^{4}$，
計(jì)算Y≤2對(duì)應(yīng)的種數(shù)為Y=0或Y=2時(shí)共4種，求出對(duì)應(yīng)的概率值．

解答 解：（Ⅰ）X的可能值為0，1，2，3，4，
則P（X=0）=$\frac{{C}_{6}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{15}{210}$，P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{80}{210}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{90}{210}$，P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}{•C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{24}{210}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{4}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{1}{210}$；
∴X的分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{15}{210}$	$\frac{80}{210}$	$\frac{90}{210}$	$\frac{24}{210}$	$\frac{1}{210}$

數(shù)學(xué)期望為EX=0×$\frac{15}{210}$+1×$\frac{80}{210}$+2×$\frac{90}{210}$+3×$\frac{24}{210}$+4×$\frac{1}{210}$=1.6；
（Ⅱ）序號(hào)a₁，a₂，a₃，a₄的排列總數(shù)為${A}_{4}^{4}$=24種，
∵Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|，
當(dāng)Y=0時(shí)，a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4；
當(dāng)Y=|1-a₁|+|2-a₂|+|3-a₃|+|4-a₄|=2時(shí)，
a₁，a₂，a₃，a₄的可能取值為：
a₁=1，a₂=2，a₃=4，a₄=3；
a₁=1，a₂=3，a₃=2，a₄=4；
a₁=2，a₂=1，a₃=3，a₄=4；
∴Y≤2的概率為P（Y≤2）=$\frac{4}{24}$=$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了離散型隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．