Question

（2009•溫州一模）已知向量

m

=(cosx，-sinx)，

n

=(cosx，sinx-2

3

cosx)，x∈R，設(shè)f(x)=

m

•

n

．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期．
（II）x∈[

π

4

，

π

2

]，求f（x）的值域．

Answer 1

分析：（I）利用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及二倍角公式、輔助角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)可得f（x）=2sin(2x+

π

6

)，利用周期公式可求
（II）由x∈[

π

4

，

π

2

]可得2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)可求函數(shù)的值域

解答：解：（I）因?yàn)?span id="bz7vcwu" class="MathJye">f(x)=m•n=cos2x-sin2x+

3

sin2x=cos2x+

3

sin2x=2sin(2x+

π

6

)…（4分）
所以函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．…（6分）
（II）因?yàn)?span id="824dksj" class="MathJye">x∈[

π

4

，

π

2

]，2x+

π

6

∈[

2π

3

，

7π

6

]…（8分）
所以sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，

3

2

]…（12分）
所以f(x)∈[-1，

3

]． …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與三角函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)合，此類試題一般以向量的運(yùn)算為載體，化簡(jiǎn)得到形如y=Asin（ωx+φ）的形式，進(jìn)一步考查函數(shù)的性質(zhì)：最值，單調(diào)區(qū)間，周期，奇偶性，對(duì)稱性．